Номер 748, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 748, страница 213.

Условие.

748. Два куска одинаковой ткани стоят вместе 9100 р. Когда из первого куска продали столько, сколько было первоначально во втором, а из второго — половину того, что было первоначально в первом, то остаток первого куска оказался на 10 м больше остатка второго куска. Сколько метров ткани было в каждом куске, если 1 м ткани стоит 140 р.?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи составим систему уравнений. Но для начала найдем общую длину ткани в двух кусках. Зная, что общая стоимость составляет 9100 р., а цена 1 метра — 140 р., можем вычислить общую длину:

$9100 \text{ р.} \div 140 \text{ р./м} = 65 \text{ м}$

Теперь введем переменные:

• Пусть $x$ — первоначальная длина первого куска ткани в метрах.
• Пусть $y$ — первоначальная длина второго куска ткани в метрах.

Исходя из общей длины, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 65$

Далее, проанализируем условие о продаже ткани:

• Из первого куска продали столько, сколько было во втором, то есть $y$ метров. Остаток в первом куске стал: $x - y$.
• Из второго куска продали половину того, что было в первом, то есть $\frac{x}{2}$ метров. Остаток во втором куске стал: $y - \frac{x}{2}$.

По условию, остаток первого куска оказался на 10 м больше остатка второго. На основе этого составим второе уравнение:

$(x - y) = (y - \frac{x}{2}) + 10$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 65 \\ x - y = y - \frac{x}{2} + 10 \end{cases} $

Упростим второе уравнение:

$x - y - y + \frac{x}{2} = 10$

$x + \frac{x}{2} - 2y = 10$

$\frac{2x+x}{2} - 2y = 10$

$\frac{3x}{2} - 2y = 10$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x - 4y = 20$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} x + y = 65 \\ 3x - 4y = 20 \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 65 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(65 - y) - 4y = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$195 - 3y - 4y = 20$

$195 - 7y = 20$

$7y = 195 - 20$

$7y = 175$

$y = 175 \div 7$

$y = 25$

Таким образом, первоначальная длина второго куска ткани — 25 метров.

Теперь найдем длину первого куска, подставив значение $y$ в выражение $x = 65 - y$:

$x = 65 - 25 = 40$

Первоначальная длина первого куска ткани — 40 метров.

Проверим: остаток первого куска $40 - 25 = 15$ м. Остаток второго куска $25 - \frac{40}{2} = 25 - 20 = 5$ м. Разница $15 - 5 = 10$ м, что соответствует условию.

Ответ: первоначально в первом куске было 40 метров ткани, а во втором — 25 метров.