Номер 755, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 755, страница 214.

Условие.

755. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если цифры этого числа переставить, то получится число, составляющее $\frac{4}{7}$ первоначального. Найдите это двузначное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Пусть искомое двузначное число можно записать как $10x + y$, где $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. При этом $x$ и $y$ — целые числа, $1 \le x \le 9$, $0 \le y \le 9$.

Из первого условия задачи известно, что сумма цифр числа равна 6. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 6$

Если переставить цифры этого числа, то получится новое число, которое можно записать как $10y + x$.

Из второго условия известно, что новое число составляет $\frac{4}{7}$ от первоначального. Запишем второе уравнение:

$10y + x = \frac{4}{7} (10x + y)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 6 \\ 10y + x = \frac{4}{7}(10x + y) \end{cases}$

Для решения системы упростим второе уравнение. Умножим обе его части на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot (10y + x) = 4 \cdot (10x + y)$

$70y + 7x = 40x + 4y$

Перенесем члены с переменной $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую:

$70y - 4y = 40x - 7x$

$66y = 33x$

Разделим обе части на 33:

$2y = x$

Теперь мы можем подставить выражение $x = 2y$ в первое уравнение системы ($x + y = 6$):

$(2y) + y = 6$

$3y = 6$

$y = \frac{6}{3}$

$y = 2$

Зная $y$, найдем $x$ из соотношения $x = 2y$:

$x = 2 \cdot 2$

$x = 4$

Итак, цифра десятков $x=4$, а цифра единиц $y=2$. Следовательно, первоначальное число — 42.

Проверим:

1. Сумма цифр: $4 + 2 = 6$. (Верно)

2. Число с переставленными цифрами — 24. Найдем отношение нового числа к первоначальному: $\frac{24}{42} = \frac{6 \cdot 4}{6 \cdot 7} = \frac{4}{7}$. (Верно)

Ответ: 42.