Номер 757, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 757, страница 214.

Условие.

757. Задача Бхаскары (Индия, XII в.)

Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это сумма денег (в рупиях) у первого человека, а $y$ — сумма денег у его друга.

Первое условие звучит так: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Это можно записать в виде уравнения. После обмена у первого человека станет $x + 100$ рупий, а у друга останется $y - 100$ рупий. Соотношение между этими суммами будет следующим: $x + 100 = 2(y - 100)$

Второе условие — ответ друга: «Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Это означает, что если первый человек даст другу 10 рупий, у него останется $x - 10$ рупий, а у друга станет $y + 10$ рупий. Это условие можно записать в виде второго уравнения: $y + 10 = 6(x - 10)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки:
1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies y - 6x = -70$ или $6x - y = 70$

Получилась система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = -300 \\ 6x - y = 70 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 300$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $6(2y - 300) - y = 70$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$: $12y - 1800 - y = 70$
$11y = 70 + 1800$
$11y = 1870$
$y = \frac{1870}{11}$
$y = 170$

Итак, мы нашли, что у друга было 170 рупий. Теперь найдем, сколько денег было у первого человека, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $x = 2y - 300 = 2 \cdot 170 - 300 = 340 - 300 = 40$

Таким образом, у первого человека было 40 рупий.

Сделаем проверку:
1. Если друг даст первому 100 рупий: у первого станет $40 + 100 = 140$, у друга останется $170 - 100 = 70$. $140 = 2 \cdot 70$. Условие выполняется.
2. Если первый даст другу 10 рупий: у первого останется $40 - 10 = 30$, у друга станет $170 + 10 = 180$. $180 = 6 \cdot 30$. Условие выполняется.

Ответ: у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.