Номер 764, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 764, страница 219.

Условие.

764. Объясните, почему уравнение:

а) $2x + 6y = 11$;

б) $3x - 9y = 10$;

в) $7x - 21y = 12

не имеет решений в целых числах.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Общий принцип для решения подобных задач заключается в следующем: для того чтобы линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$ имело решения в целых числах, необходимо и достаточно, чтобы правая часть $c$ делилась нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. Проверим каждое уравнение на соответствие этому условию.

а) $2x + 6y = 11$

Рассмотрим левую часть уравнения: $2x + 6y$. Общий множитель для коэффициентов 2 и 6 равен 2. Вынесем его за скобки: $2(x + 3y)$.

Поскольку $x$ и $y$ по условию должны быть целыми числами, то их комбинация $(x + 3y)$ также будет являться целым числом. Это означает, что вся левая часть уравнения, $2(x + 3y)$, при любых целых $x$ и $y$ всегда будет четным числом (так как она является произведением 2 и целого числа).

Правая часть уравнения равна 11. Это нечетное число.

Равенство между четным и нечетным числом невозможно. Следовательно, данное уравнение не может иметь решений в целых числах.

Ответ: левая часть уравнения, $2(x+3y)$, всегда является четным числом при целых $x$ и $y$, а правая часть, 11, — нечетное число, поэтому равенство невозможно.

б) $3x - 9y = 10$

Рассмотрим левую часть уравнения: $3x - 9y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 3 и 9 равен 3. Вынесем его за скобки: $3(x - 3y)$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, выражение в скобках $(x - 3y)$ также является целым числом. Таким образом, левая часть уравнения, $3(x - 3y)$, при любых целых $x$ и $y$ всегда будет числом, кратным 3.

Правая часть уравнения равна 10. Число 10 не делится нацело на 3 (признак делимости на 3: сумма цифр $1+0=1$ не делится на 3).

Так как левая часть всегда делится на 3, а правая — нет, равенство невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: левая часть уравнения, $3(x-3y)$, всегда кратна 3 при целых $x$ и $y$, а правая часть, 10, на 3 не делится, поэтому равенство невозможно.

в) $7x - 21y = 12$

Рассмотрим левую часть уравнения: $7x - 21y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 7 и 21 равен 7. Вынесем его за скобки: $7(x - 3y)$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, выражение $(x - 3y)$ также является целым числом. Следовательно, левая часть уравнения, $7(x - 3y)$, при любых целых $x$ и $y$ всегда будет числом, кратным 7.

Правая часть уравнения равна 12. Число 12 не делится нацело на 7 ($12 = 1 \cdot 7 + 5$).

Поскольку левая часть всегда кратна 7, а правая — нет, равенство невозможно. Таким образом, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: левая часть уравнения, $7(x-3y)$, всегда кратна 7 при целых $x$ и $y$, а правая часть, 12, на 7 не делится, поэтому равенство невозможно.