Номер 771, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 771, страница 220.

Условие.

771. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Купил некто на 80 алтын гусей, уток и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку — по 1 алтыну, чирка же — по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил. ($1 \text{ алтын} = 3 \text{ к.}$, $1 \text{ деньга} = 0,5 \text{ к.}$)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем переменные:

• пусть $g$ — количество купленных гусей;
• пусть $u$ — количество купленных уток;
• пусть $c$ — количество купленных чирков.

Сначала переведем все цены в единую валюту — копейки, используя соотношения из условия: 1 алтын = 3 копейки, 1 деньга = 0,5 копейки.

• Общая сумма покупки: $80 \text{ алтын} = 80 \times 3 = 240 \text{ копеек}$.
• Цена одного гуся: $2 \text{ алтына} = 2 \times 3 = 6 \text{ копеек}$.
• Цена одной утки: $1 \text{ алтын} = 1 \times 3 = 3 \text{ копейки}$.
• Цена одного чирка: $3 \text{ деньги} = 3 \times 0.5 = 1.5 \text{ копейки}$.

Теперь составим систему уравнений на основе условий задачи.

Первое уравнение — общее количество птиц:

$g + u + c = 80$

Второе уравнение — общая стоимость всех птиц в копейках:

$6g + 3u + 1.5c = 240$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Чтобы упростить второе уравнение, умножим его на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$12g + 6u + 3c = 480$

Теперь разделим все члены этого уравнения на 3:

$4g + 2u + c = 160$

Итак, наша система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} g + u + c = 80 \\ 4g + 2u + c = 160 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $c$:

$(4g + 2u + c) - (g + u + c) = 160 - 80$

$3g + u = 80$

Из этого уравнения можно выразить количество уток $u$ через количество гусей $g$:

$u = 80 - 3g$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение исходной системы, чтобы найти зависимость для $c$:

$g + (80 - 3g) + c = 80$

$-2g + 80 + c = 80$

$c = 2g$

Таким образом, мы нашли общее решение: количество уток и чирков выражается через количество гусей. Поскольку количество птиц каждого вида должно быть целым и положительным числом (условие "купил ... гусей, уток и чирков" подразумевает, что был куплен хотя бы один экземпляр каждого вида), наложим следующие ограничения:

• $g > 0$
• $u > 0 \implies 80 - 3g > 0 \implies 3g < 80 \implies g < \frac{80}{3} \implies g \le 26$
• $c > 0 \implies 2g > 0 \implies g > 0$

Объединяя эти условия, получаем, что количество гусей $g$ может быть любым целым числом от 1 до 26 включительно. Это означает, что задача имеет не одно, а 26 различных решений.

Например, приведем два возможных варианта:

1. Если $g = 20$, то $u = 80 - 3 \times 20 = 20$ и $c = 2 \times 20 = 40$.
   Проверка: $20+20+40 = 80$ птиц. Стоимость: $6 \times 20 + 3 \times 20 + 1.5 \times 40 = 120 + 60 + 60 = 240$ копеек.
2. Если $g = 15$, то $u = 80 - 3 \times 15 = 35$ и $c = 2 \times 15 = 30$.
   Проверка: $15+35+30 = 80$ птиц. Стоимость: $6 \times 15 + 3 \times 35 + 1.5 \times 30 = 90 + 105 + 45 = 240$ копеек.

Ответ: Задача имеет 26 возможных решений. Количество купленных птиц определяется по формулам: $u = 80 - 3g$ и $c = 2g$, где $g$ (количество гусей) — любое целое число от 1 до 26. Например, можно было купить 20 гусей, 20 уток и 40 чирков.