Номер 776, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

2. Метод Гаусса. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 776, страница 222.

Условие.

776. Ищем информацию.

Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение о К. Гауссе и его вкладе в математику.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Краткая биография Карла Гаусса

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — великий немецкий математик, астроном и физик, которого за фундаментальный и всеобъемлющий вклад в науку называют "королём математиков" (Princeps mathematicorum). Он родился в бедной семье в Брауншвейге. Его гениальность проявилась в раннем детстве. Широко известна история о том, как в возрасте 9 лет он мгновенно нашёл сумму всех целых чисел от 1 до 100. Пока другие ученики складывали числа по порядку, Гаусс заметил, что можно сгруппировать числа в пары, дающие в сумме 101 (1+100, 2+99, и т.д.). Таких пар было 50, поэтому общая сумма равна $50 \times 101 = 5050$. Фактически, он переоткрыл формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. Его талант был замечен герцогом Брауншвейгским, который оплатил его образование.

Ответ: Карл Фридрих Гаусс был немецким вундеркиндом, который благодаря своему исключительному таланту, проявившемуся с ранних лет, смог получить образование и стать одним из величайших учёных в истории.

Вклад в теорию чисел

Главным трудом Гаусса в этой области являются "Арифметические исследования" (Disquisitiones Arithmeticae), опубликованные в 1801 году. Эта книга заложила основы современной теории чисел. В ней Гаусс систематизировал результаты своих предшественников и добавил множество собственных открытий.

• Теория сравнений: Гаусс ввёл символику и разработал теорию сравнений по модулю. Запись $a \equiv b \pmod{m}$ означает, что числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. Эта теория стала одним из краеугольных камней теории чисел.
• Основная теорема алгебры: Гаусс дал первое строгое доказательство этой теоремы, утверждающей, что любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень.
• Закон квадратичной взаимности: Гаусс первым дал полное доказательство этой важной теоремы, которую он называл "золотой теоремой".

Ответ: Основной вклад Гаусса в теорию чисел — это создание фундаментального труда "Арифметические исследования", введение теории сравнений, строгое доказательство основной теоремы алгебры и закона квадратичной взаимности.

Вклад в геометрию и астрономию

В 1796 году, в возрасте 19 лет, Гаусс совершил революционное открытие в геометрии. Он доказал, что правильный семнадцатиугольник (гептадекагон) можно построить с помощью циркуля и линейки. Эта задача оставалась нерешённой со времён древнегреческих математиков. Именно это достижение окончательно убедило Гаусса посвятить свою жизнь математике. Кроме того, Гаусс был одним из первых математиков, пришедших к идеям неевклидовой геометрии, хотя и не опубликовал свои результаты при жизни, опасаясь непонимания.
В астрономии Гаусс прославился в 1801 году. После открытия карликовой планеты Церера астрономы потеряли её из виду. Гаусс, используя всего несколько наблюдений, разработал новый метод вычисления орбит (основанный на созданном им методе наименьших квадратов) и с поразительной точностью предсказал, где и когда Церера снова появится на небе.

Ответ: Вклад Гаусса в геометрию включает доказательство возможности построения правильного 17-угольника и разработку основ неевклидовой геометрии, а в астрономии он прославился вычислением орбиты Цереры, что продемонстрировало мощь его математических методов.

Вклад в статистику и физику

Для решения астрономических и геодезических задач (например, при измерении дуги меридиана) Гаусс разработал метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет находить наилучшие оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные погрешности. Он до сих пор является одним из основных инструментов в статистике и анализе данных.
С этим методом тесно связано нормальное распределение (или распределение Гаусса), описывающее, как случайные погрешности распределяются вокруг истинного значения. Плотность этого распределения описывается знаменитой формулой:$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$где $\mu$ — математическое ожидание (среднее значение), а $\sigma$ — среднеквадратичное отклонение.
В физике Гаусс внёс огромный вклад в теорию электромагнетизма. Вместе с Вильгельмом Вебером он создал первый в Германии электромагнитный телеграф. Он сформулировал одну из фундаментальных теорем электростатики — теорему Гаусса, которая стала одним из четырёх уравнений Максвелла, описывающих все электромагнитные явления.

Ответ: Гаусс заложил основы современной математической статистики, разработав метод наименьших квадратов и исследовав нормальное распределение, а в физике сформулировал ключевую теорему электромагнетизма, названную его именем.