Номер 775, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

2. Метод Гаусса. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 775, страница 222.

Условие.

775. Решите методом Гаусса систему уравнений:

a) $\begin{cases} 3x - 5y = 1 \\ x - 10y = -8 \end{cases}$

б) $\begin{cases} -2x + 3y = 0 \\ 4x - 5y = 2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - 4y = -1 \\ 5x + 6y = 11 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y + 3z = 4 \\ 2x + 3y - 4z = 7 \\ 3x - 4y + 5z = 2 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3x + y - z = -1 \\ 2x - 3y + 2z = 2 \\ -x + 5y - 3z = -3 \end{cases}$

е) $\begin{cases} -3x + 5y - 2z = 0 \\ 3x - 2y + 5z = 6 \\ 4x + 2y - 5z = 1 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y - z = 1 \\ -x + y + z = -1 \end{cases}$

з) $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 2z = 6 \\ -x + 3y - z = 2 \end{cases}$

и) $\begin{cases} -2x + 7y - 4z = 1 \\ 4x - 8y + 5z = 1 \\ 3x + 2y - 4z = 1 \end{cases}$

к) $\begin{cases} 3x - 2y + z = 3 \\ x + 3y + 2z = 3 \\ 2x + y + 3z = 2 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 5y = 1 \\ x - 10y = -8 \end{cases} \implies \begin{pmatrix} 3 & -5 & | & 1 \\ 1 & -10 & | & -8 \end{pmatrix} $

Для удобства вычислений поменяем первую и вторую строки местами ($R_1 \leftrightarrow R_2$):

$ \begin{pmatrix} 1 & -10 & | & -8 \\ 3 & -5 & | & 1 \end{pmatrix} $

Приведем матрицу к ступенчатому виду. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 3 ($R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$):

$ \begin{pmatrix} 1 & -10 & | & -8 \\ 3 - 3 \cdot 1 & -5 - 3 \cdot (-10) & | & 1 - 3 \cdot (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -10 & | & -8 \\ 0 & 25 & | & 25 \end{pmatrix} $

Получили эквивалентную систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 10y = -8 \\ 25y = 25 \end{cases} $

Из второго уравнения находим $y$: $25y = 25 \Rightarrow y = 1$.

Подставляем значение $y$ в первое уравнение: $x - 10(1) = -8 \Rightarrow x - 10 = -8 \Rightarrow x = 2$.

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

$ \begin{cases} -2x + 3y = 0 \\ 4x - 5y = 2 \end{cases} \implies \begin{pmatrix} -2 & 3 & | & 0 \\ 4 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} $

Приведем матрицу к ступенчатому виду. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на 2 ($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$):

$ \begin{pmatrix} -2 & 3 & | & 0 \\ 4 + 2 \cdot (-2) & -5 + 2 \cdot 3 & | & 2 + 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} $

Получили эквивалентную систему уравнений:

$ \begin{cases} -2x + 3y = 0 \\ y = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения имеем $y = 2$.

Подставляем значение $y$ в первое уравнение: $-2x + 3(2) = 0 \Rightarrow -2x + 6 = 0 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3$.

Ответ: $(3; 2)$.

в)

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 4y = -1 \\ 5x + 6y = 11 \end{cases} \implies \begin{pmatrix} 3 & -4 & | & -1 \\ 5 & 6 & | & 11 \end{pmatrix} $

Приведем матрицу к ступенчатому виду. Умножим первую строку на 5, а вторую на 3 ($R_1 \rightarrow 5R_1, R_2 \rightarrow 3R_2$):

$ \begin{pmatrix} 15 & -20 & | & -5 \\ 15 & 18 & | & 33 \end{pmatrix} $

Из второй строки вычтем первую ($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$):

$ \begin{pmatrix} 15 & -20 & | & -5 \\ 0 & 38 & | & 38 \end{pmatrix} $

Получили систему, эквивалентную исходной:

$ \begin{cases} 15x - 20y = -5 \\ 38y = 38 \end{cases} $

Из второго уравнения находим $y$: $38y = 38 \Rightarrow y = 1$.

Подставляем значение $y$ в первое уравнение: $15x - 20(1) = -5 \Rightarrow 15x = 15 \Rightarrow x = 1$.

Ответ: $(1; 1)$.

г)

Запишем расширенную матрицу системы:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 2 & 3 & -4 & | & 7 \\ 3 & -4 & 5 & | & 2 \end{pmatrix} $

Выполним преобразования: $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ и $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$.

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 0 & -1 & -10 & | & -1 \\ 0 & -10 & -4 & | & -10 \end{pmatrix} $

Умножим вторую строку на -1 ($R_2 \rightarrow -R_2$):

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 1 & 10 & | & 1 \\ 0 & -10 & -4 & | & -10 \end{pmatrix} $

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 10 ($R_3 \rightarrow R_3 + 10R_2$):

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 1 & 10 & | & 1 \\ 0 & 0 & 96 & | & 0 \end{pmatrix} $

Система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y + 3z = 4 \\ y + 10z = 1 \\ 96z = 0 \end{cases} $

Из третьего уравнения: $96z = 0 \Rightarrow z = 0$.

Подставляем в второе: $y + 10(0) = 1 \Rightarrow y = 1$.

Подставляем в первое: $x + 2(1) + 3(0) = 4 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2$.

Ответ: $(2; 1; 0)$.

д)

Запишем расширенную матрицу системы:

$ \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & | & -1 \\ 2 & -3 & 2 & | & 2 \\ -1 & 5 & -3 & | & -3 \end{pmatrix} $

Поменяем местами первую и третью строки ($R_1 \leftrightarrow R_3$) и умножим новую первую строку на -1 ($R_1 \rightarrow -R_1$):

$ \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 & | & 3 \\ 2 & -3 & 2 & | & 2 \\ 3 & 1 & -1 & | & -1 \end{pmatrix} $

Выполним преобразования: $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ и $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$.

$ \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 & | & 3 \\ 0 & 7 & -4 & | & -4 \\ 0 & 16 & -10 & | & -10 \end{pmatrix} $

Разделим третью строку на 2 ($R_3 \rightarrow R_3/2$):

$ \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 & | & 3 \\ 0 & 7 & -4 & | & -4 \\ 0 & 8 & -5 & | & -5 \end{pmatrix} $

Выполним преобразование $R_3 \rightarrow 7R_3 - 8R_2$:

$ \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 & | & 3 \\ 0 & 7 & -4 & | & -4 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \end{pmatrix} $

Система уравнений:

$ \begin{cases} x - 5y + 3z = 3 \\ 7y - 4z = -4 \\ -3z = -3 \end{cases} $

Из третьего уравнения: $z = 1$.

Подставляем в второе: $7y - 4(1) = -4 \Rightarrow 7y = 0 \Rightarrow y = 0$.

Подставляем в первое: $x - 5(0) + 3(1) = 3 \Rightarrow x + 3 = 3 \Rightarrow x = 0$.

Ответ: $(0; 0; 1)$.

е)

Запишем расширенную матрицу системы:

$ \begin{pmatrix} -3 & 5 & -2 & | & 0 \\ 3 & -2 & 5 & | & 6 \\ 4 & 2 & -5 & | & 1 \end{pmatrix} $

Прибавим первую строку ко второй ($R_2 \rightarrow R_2 + R_1$):

$ \begin{pmatrix} -3 & 5 & -2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 6 \\ 4 & 2 & -5 & | & 1 \end{pmatrix} $

Разделим вторую строку на 3 ($R_2 \rightarrow R_2/3$):

$ \begin{pmatrix} -3 & 5 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 4 & 2 & -5 & | & 1 \end{pmatrix} $

Выполним преобразование $R_3 \rightarrow 3R_3 + 4R_1$:

$ \begin{pmatrix} -3 & 5 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 26 & -23 & | & 3 \end{pmatrix} $

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 26 ($R_3 \rightarrow R_3 - 26R_2$):

$ \begin{pmatrix} -3 & 5 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -49 & | & -49 \end{pmatrix} $

Система уравнений:

$ \begin{cases} -3x + 5y - 2z = 0 \\ y + z = 2 \\ -49z = -49 \end{cases} $

Из третьего уравнения: $z = 1$.

Подставляем в второе: $y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$.

Подставляем в первое: $-3x + 5(1) - 2(1) = 0 \Rightarrow -3x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Ответ: $(1; 1; 1)$.

ж)

Запишем расширенную матрицу системы:

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & -1 & -1 & | & 1 \\ -1 & 1 & 1 & | & -1 \end{pmatrix} $

Выполним преобразования: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ и $R_3 \rightarrow R_3 + R_1$.

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -2 & -2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} $

Прибавим вторую строку к третьей ($R_3 \rightarrow R_3 + R_2$):

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -2 & -2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} $

Последняя строка представляет собой тождество $0=0$, это означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -2y - 2z = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения: $-2(y + z) = 0 \Rightarrow y + z = 0 \Rightarrow y = -z$.

Пусть $z = c$, где $c$ - любое действительное число. Тогда $y = -c$.

Подставляем в первое уравнение: $x + (-c) + c = 1 \Rightarrow x = 1$.

Ответ: $(1; -c; c)$, где $c \in \mathbb{R}$.

з)

Запишем расширенную матрицу системы:

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 2 & | & 6 \\ -1 & 3 & -1 & | & 2 \end{pmatrix} $

Выполним преобразования: $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ и $R_3 \rightarrow R_3 + R_1$.

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 0 & | & -6 \\ 0 & 4 & 0 & | & 8 \end{pmatrix} $

Разделим вторую строку на -3 ($R_2 \rightarrow R_2/(-3)$) и третью на 4 ($R_3 \rightarrow R_3/4$):

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \end{pmatrix} $

Вычтем вторую строку из третьей ($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$):

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} $

Последняя строка $0=0$ указывает на бесконечное множество решений.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ y = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения $y = 2$.

Подставляем в первое: $x + 2 + z = 6 \Rightarrow x + z = 4 \Rightarrow x = 4 - z$.

Пусть $z = c$, где $c$ - любое действительное число. Тогда $x = 4 - c$.

Ответ: $(4 - c; 2; c)$, где $c \in \mathbb{R}$.

и)

Запишем расширенную матрицу системы:

$ \begin{pmatrix} -2 & 7 & -4 & | & 1 \\ 4 & -8 & 5 & | & 1 \\ 3 & 2 & -4 & | & 1 \end{pmatrix} $

Выполним преобразования: $R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ и $R_3 \rightarrow 2R_3 + 3R_1$.

$ \begin{pmatrix} -2 & 7 & -4 & | & 1 \\ 0 & 6 & -3 & | & 3 \\ 0 & 25 & -20 & | & 5 \end{pmatrix} $

Разделим вторую строку на 3 ($R_2 \rightarrow R_2/3$) и третью на 5 ($R_3 \rightarrow R_3/5$):

$ \begin{pmatrix} -2 & 7 & -4 & | & 1 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 5 & -4 & | & 1 \end{pmatrix} $

Выполним преобразование $R_3 \rightarrow 2R_3 - 5R_2$:

$ \begin{pmatrix} -2 & 7 & -4 & | & 1 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \end{pmatrix} $

Система уравнений:

$ \begin{cases} -2x + 7y - 4z = 1 \\ 2y - z = 1 \\ -3z = -3 \end{cases} $

Из третьего уравнения: $z = 1$.

Подставляем в второе: $2y - 1 = 1 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.

Подставляем в первое: $-2x + 7(1) - 4(1) = 1 \Rightarrow -2x + 3 = 1 \Rightarrow -2x = -2 \Rightarrow x = 1$.

Ответ: $(1; 1; 1)$.

к)

Запишем расширенную матрицу системы:

$ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & | & 3 \\ 1 & 3 & 2 & | & 3 \\ 2 & 1 & 3 & | & 2 \end{pmatrix} $

Поменяем местами первую и вторую строки ($R_1 \leftrightarrow R_2$):

$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 3 \\ 3 & -2 & 1 & | & 3 \\ 2 & 1 & 3 & | & 2 \end{pmatrix} $

Выполним преобразования: $R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$ и $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$.

$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 3 \\ 0 & -11 & -5 & | & -6 \\ 0 & -5 & -1 & | & -4 \end{pmatrix} $

Умножим вторую и третью строки на -1:

$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 3 \\ 0 & 11 & 5 & | & 6 \\ 0 & 5 & 1 & | & 4 \end{pmatrix} $

Выполним преобразование $R_3 \rightarrow 11R_3 - 5R_2$:

$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 3 \\ 0 & 11 & 5 & | & 6 \\ 0 & 0 & -14 & | & 14 \end{pmatrix} $

Система уравнений:

$ \begin{cases} x + 3y + 2z = 3 \\ 11y + 5z = 6 \\ -14z = 14 \end{cases} $

Из третьего уравнения: $z = -1$.

Подставляем в второе: $11y + 5(-1) = 6 \Rightarrow 11y - 5 = 6 \Rightarrow 11y = 11 \Rightarrow y = 1$.

Подставляем в первое: $x + 3(1) + 2(-1) = 3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.

Ответ: $(2; 1; -1)$.