Номер 773, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 773, страница 220.

Условие.

773. Ищем информацию.

Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение о Диофанте и задачах из его «Арифметики».

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший в III веке нашей эры, которого часто называют «отцом алгебры». Его главный труд, «Арифметика», оказал огромное влияние на развитие теории чисел и алгебры.

О Диофанте Александрийском

О жизни Диофанта известно крайне мало. Он жил и работал в Александрии Египетской, предположительно в период между 200 и 298 годами н.э. Единственным источником биографических сведений является стихотворная загадка-эпитафия, которая, согласно преданию, была на его надгробии. Эта задача позволяет вычислить продолжительность его жизни.

Текст эпитафии в прозаическом пересказе звучит так: «Прах Диофанта гробница покоит. Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую — юность. После седьмой части, проведенной в браке, и еще пяти лет у него родился сын. Сын прожил вдвое меньше отца. Через четыре года после смерти сына в глубокой скорби скончался и сам Диофант».

Решим эту задачу. Пусть $x$ — количество лет, которые прожил Диофант. Составим уравнение на основе эпитафии:

Детство: $\frac{x}{6}$

Юность: $\frac{x}{12}$

Бездетный брак: $\frac{x}{7}$

До рождения сына: 5 лет

Жизнь сына: $\frac{x}{2}$

Годы после смерти сына: 4 года

Сумма всех этих периодов равна полной жизни Диофанта:

$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$

Сгруппируем слагаемые:

$x = (\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{7} + \frac{1}{2})x + 9$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 84:

$x = (\frac{14}{84} + \frac{7}{84} + \frac{12}{84} + \frac{42}{84})x + 9$

$x = \frac{75}{84}x + 9$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:

$x - \frac{75}{84}x = 9$

$\frac{9}{84}x = 9$

$x = 84$

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Трактат «Арифметика»

«Арифметика» — это главный труд Диофанта, представляющий собой сборник из 13 книг, посвященных решению алгебраических задач. К сожалению, до наших дней дошли только 10 из них: 6 в оригинале на греческом языке и 4 в арабском переводе. В этом труде Диофант ввел элементы алгебраической символики, что стало огромным шагом вперед по сравнению с «риторической алгеброй» его предшественников, где все выкладки описывались словами. Он использовал специальные символы для неизвестной величины и ее степеней, а также для знака вычитания и равенства. Основное внимание в «Арифметике» уделяется поиску положительных рациональных решений для неопределенных уравнений — уравнений с несколькими переменными. В честь него такие уравнения (когда решения ищутся в целых или рациональных числах) сегодня называют диофантовыми уравнениями. Именно на полях «Арифметики» Диофанта французский математик Пьер де Ферма сформулировал свою знаменитую Великую теорему.

Задачи из «Арифметики»

«Арифметика» содержит множество разнообразных задач. Вот несколько примеров, демонстрирующих методы Диофанта.

Задача 1 (Книга I, задача 27): Найти два числа по их сумме и произведению.
Условие: Найти два числа, сумма которых равна 20, а произведение — 96.
Решение: Диофант предлагает оригинальный метод. Пусть сумма чисел равна $2a=20$, тогда $a=10$. Он представляет искомые числа в виде $a+z$ и $a-z$, то есть $10+z$ и $10-z$. Их сумма автоматически равна $(10+z) + (10-z) = 20$. Теперь рассмотрим их произведение, которое должно быть равно 96: $(10+z)(10-z) = 96$ По формуле разности квадратов: $10^2 - z^2 = 96$ $100 - z^2 = 96$ $z^2 = 100 - 96 = 4$ $z = 2$ (Диофант искал только положительные решения) Тогда первое число равно $10+z = 10+2 = 12$, а второе — $10-z = 10-2 = 8$.
Ответ: Искомые числа — 12 и 8.

Задача 2 (Книга II, задача 8): Разделить данный квадрат на два других квадрата.
Условие: Разделить число 16 (которое является квадратом 4) на сумму двух квадратов рациональных чисел.
Решение: Мы ищем два рациональных числа $x$ и $y$ такие, что $x^2 + y^2 = 16$. Диофант предлагает положить один из искомых квадратов равным квадрату выражения, содержащего неизвестную, например $z^2$. Тогда второй квадрат должен быть равен $16 - z^2$. Чтобы это выражение тоже было квадратом, Диофант приравнивает его к квадрату другого выражения, например $(kz-4)^2$, где $k$ — произвольно выбранное рациональное число. Выберем, как это часто делал Диофант, $k=2$. Получаем уравнение: $16 - z^2 = (2z - 4)^2$ $16 - z^2 = 4z^2 - 16z + 16$ $-z^2 = 4z^2 - 16z$ Перенесем все в одну сторону (и считая $z \ne 0$): $5z^2 = 16z$ $5z = 16 \implies z = \frac{16}{5}$ Итак, одно из чисел найдено: $x=z=\frac{16}{5}$. Его квадрат: $x^2 = (\frac{16}{5})^2 = \frac{256}{25}$. Второй квадрат равен $y^2 = 16 - x^2 = 16 - \frac{256}{25} = \frac{400 - 256}{25} = \frac{144}{25}$. Соответственно, второе число $y = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$. Проверка: $(\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 = \frac{256}{25} + \frac{144}{25} = \frac{400}{25} = 16$.
Ответ: Число 16 можно представить в виде суммы квадратов чисел $\frac{16}{5}$ и $\frac{12}{5}$.