Номер 768, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 768, страница 219.

Условие.

768. Купили 40 птиц за 40 монет. За каждых трёх воробьёв платили 1 монету, за каждых двух горлиц платили 1 монету, а за каждого голубя — 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение:

Пусть $x$ — количество купленных воробьёв, $y$ — количество горлиц, а $z$ — количество голубей.

Из условия задачи мы можем составить два основных уравнения.

1. Уравнение общего количества птиц: всего купили 40 птиц.

$x + y + z = 40$

2. Уравнение общей стоимости: вся покупка обошлась в 40 монет. Цены на птиц следующие:

• Воробей: 1 монета за 3 штуки, то есть $\frac{1}{3}$ монеты за одного.
• Горлица: 1 монета за 2 штуки, то есть $\frac{1}{2}$ монеты за одну.
• Голубь: 2 монеты за одного.

Уравнение стоимости:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z = 40$

Также важно учесть, что количество птиц может быть только целым и неотрицательным числом. Более того, из условия о цене следует, что количество воробьёв $x$ должно быть кратно 3, а количество горлиц $y$ — кратно 2.

Получаем систему уравнений для нахождения целых неотрицательных решений:

$\begin{cases} x + y + z = 40 & (1) \\ \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z = 40 & (2) \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$2x + 3y + 12z = 240 \quad (3)$

Теперь решим систему из уравнений (1) и (3). Умножим уравнение (1) на 12:

$12x + 12y + 12z = 480 \quad (4)$

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

$(12x + 12y + 12z) - (2x + 3y + 12z) = 480 - 240$

$10x + 9y = 240$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Будем искать его целые неотрицательные решения, учитывая, что $x$ кратно 3, а $y$ кратно 2.

Из уравнения $10x = 240 - 9y$ видно, что правая часть $(240 - 9y)$ должна делиться на 10. Так как 240 делится на 10, то и $9y$ должно делиться на 10. Поскольку числа 9 и 10 взаимно простые, это означает, что $y$ должен быть кратен 10.

Итак, $y$ должен быть неотрицательным числом, кратным 10. Также $y$ должен удовлетворять условию $240 - 9y \ge 0$ (поскольку $10x \ge 0$).

$9y \le 240 \implies y \le \frac{240}{9} \implies y \le 26\frac{2}{3}$

Следовательно, возможные значения для $y$: 0, 10, 20.

Рассмотрим каждый из этих случаев:

1. Если $y = 20$:

$10x = 240 - 9(20) = 240 - 180 = 60 \implies x = 6$.

Находим $z$ из первого уравнения: $z = 40 - x - y = 40 - 6 - 20 = 14$.

Проверяем условия: $x=6$ (кратно 3), $y=20$ (кратно 2). Все верно. Получаем первое возможное решение: 6 воробьёв, 20 горлиц, 14 голубей.

2. Если $y = 10$:

$10x = 240 - 9(10) = 240 - 90 = 150 \implies x = 15$.

Находим $z$: $z = 40 - x - y = 40 - 15 - 10 = 15$.

Проверяем условия: $x=15$ (кратно 3), $y=10$ (кратно 2). Все верно. Получаем второе возможное решение: 15 воробьёв, 10 горлиц, 15 голубей.

3. Если $y = 0$:

$10x = 240 - 9(0) = 240 \implies x = 24$.

Находим $z$: $z = 40 - x - y = 40 - 24 - 0 = 16$.

Проверяем условия: $x=24$ (кратно 3), $y=0$ (кратно 2). Все верно. Получаем третье возможное решение: 24 воробья, 0 горлиц, 16 голубей.

Таким образом, задача имеет три различных решения.

Ответ: Существует три варианта покупки:
1) 6 воробьёв, 20 горлиц и 14 голубей;
2) 15 воробьёв, 10 горлиц и 15 голубей;
3) 24 воробья, 0 горлиц и 16 голубей.