Номер 774, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

2. Метод Гаусса. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 774, страница 222.

Условие.

774. Решите систему уравнений «треугольного» вида:

а) $\begin{cases} y = 3 \\ x - 4y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} -x = 7 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x = 6 \\ -3x + 5y = 16 \end{cases}$

г) $\begin{cases} z = 2 \\ 4y - 3z = 2 \\ 3x + 4y - 6z = 2 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x = -6 \\ 3x - y = 0 \\ -x + y - z = -6 \end{cases}$

е) $\begin{cases} -x + y + z = 5 \\ 4x - 3y = 5 \\ 3x = 15 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 3, \\ x - 4y = 2 \end{cases} $

В этой системе значение переменной $y$ уже задано в первом уравнении: $y = 3$.

Подставим это значение во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$x - 4 \cdot (3) = 2$

Выполним умножение:

$x - 12 = 2$

Теперь решим уравнение относительно $x$, перенеся $-12$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = 2 + 12$

$x = 14$

Таким образом, решение системы: $x=14$, $y=3$.

Ответ: $(14; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -x = 7, \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения найдем значение $x$:

$-x = 7 \implies x = -7$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение:

$2 \cdot (-7) - 3y = 1$

Выполним умножение:

$-14 - 3y = 1$

Перенесем $-14$ в правую часть уравнения:

$-3y = 1 + 14$

$-3y = 15$

Разделим обе части на $-3$, чтобы найти $y$:

$y = \frac{15}{-3}$

$y = -5$

Таким образом, решение системы: $x=-7$, $y=-5$.

Ответ: $(-7; -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x = 6, \\ -3x + 5y = 16 \end{cases} $

Из первого уравнения найдем значение $x$:

$2x = 6 \implies x = \frac{6}{2} \implies x = 3$

Подставим значение $x = 3$ во второе уравнение:

$-3 \cdot (3) + 5y = 16$

$-9 + 5y = 16$

Перенесем $-9$ в правую часть:

$5y = 16 + 9$

$5y = 25$

Найдем $y$:

$y = \frac{25}{5} \implies y = 5$

Таким образом, решение системы: $x=3$, $y=5$.

Ответ: $(3; 5)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} z = 2, \\ 4y - 3z = 2, \\ 3x + 4y - 6z = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения мы знаем, что $z = 2$.

Подставим это значение во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$4y - 3 \cdot (2) = 2$

$4y - 6 = 2$

$4y = 2 + 6$

$4y = 8 \implies y = \frac{8}{4} \implies y = 2$

Теперь, зная $y=2$ и $z=2$, подставим эти значения в третье уравнение, чтобы найти $x$:

$3x + 4 \cdot (2) - 6 \cdot (2) = 2$

$3x + 8 - 12 = 2$

$3x - 4 = 2$

$3x = 2 + 4$

$3x = 6 \implies x = \frac{6}{3} \implies x = 2$

Таким образом, решение системы: $x=2$, $y=2$, $z=2$.

Ответ: $(2; 2; 2)$.

д)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x = -6, \\ 3x - y = 0, \\ -x + y - z = -6 \end{cases} $

Из первого уравнения найдем $x$:

$2x = -6 \implies x = \frac{-6}{2} \implies x = -3$

Подставим $x = -3$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$3 \cdot (-3) - y = 0$

$-9 - y = 0$

$-y = 9 \implies y = -9$

Теперь подставим $x = -3$ и $y = -9$ в третье уравнение, чтобы найти $z$:

$-(-3) + (-9) - z = -6$

$3 - 9 - z = -6$

$-6 - z = -6$

$-z = -6 + 6$

$-z = 0 \implies z = 0$

Таким образом, решение системы: $x=-3$, $y=-9$, $z=0$.

Ответ: $(-3; -9; 0)$.

е)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -x + y + z = 5, \\ 4x - 3y = 5, \\ 3x = 15 \end{cases} $

Эта система также имеет треугольный вид, но решать ее удобнее с последнего уравнения.

Из третьего уравнения найдем $x$:

$3x = 15 \implies x = \frac{15}{3} \implies x = 5$

Подставим $x = 5$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$4 \cdot (5) - 3y = 5$

$20 - 3y = 5$

$-3y = 5 - 20$

$-3y = -15 \implies y = \frac{-15}{-3} \implies y = 5$

Теперь подставим $x = 5$ и $y = 5$ в первое уравнение, чтобы найти $z$:

$-(5) + (5) + z = 5$

$-5 + 5 + z = 5$

$0 + z = 5 \implies z = 5$

Таким образом, решение системы: $x=5$, $y=5$, $z=5$.

Ответ: $(5; 5; 5)$.