Номер 769, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 769, страница 220.

Условие.

769. Задача Джан Цзюцзяня (Китай, V в.). 1 петух стоит 5 цяней (денежных единиц), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыплёнка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество петухов как $x$, количество кур как $y$, и количество цыплят как $z$.

Условия задачи можно выразить двумя уравнениями:

1. Уравнение по количеству птиц: всего 100 птиц.
$x + y + z = 100$

2. Уравнение по стоимости: общая стоимость 100 цяней.Стоимость одного петуха – 5 цяней, одной курицы – 3 цяня. Так как 3 цыплёнка стоят 1 цянь, то один цыплёнок стоит $\frac{1}{3}$ цяня.
$5x + 3y + \frac{z}{3} = 100$

Чтобы избавиться от дроби во втором уравнении, умножим все его члены на 3:
$15x + 9y + z = 300$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $x + y + z = 100$
2) $15x + 9y + z = 300$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $z$:
$(15x + 9y + z) - (x + y + z) = 300 - 100$
$14x + 8y = 200$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:
$7x + 4y = 100$

Теперь нам нужно найти решения этого уравнения в целых неотрицательных числах ($x \ge 0$, $y \ge 0$). Выразим $y$ через $x$:
$4y = 100 - 7x$
$y = \frac{100 - 7x}{4} = 25 - \frac{7x}{4}$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, выражение $\frac{7x}{4}$ также должно быть целым. Так как 7 и 4 являются взаимно простыми числами, $x$ должен быть кратен 4. Кроме того, количество птиц не может быть отрицательным, поэтому $y \ge 0$.

$25 - \frac{7x}{4} \ge 0 \implies 25 \ge \frac{7x}{4} \implies 100 \ge 7x \implies x \le \frac{100}{7} \approx 14.28$

Итак, $x$ должен быть неотрицательным целым числом, кратным 4, и не превышать 14. Возможные значения для $x$: 0, 4, 8, 12. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: $x = 0$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 0}{4} = 25$
$z = 100 - x - y = 100 - 0 - 25 = 75$
Проверка стоимости: $5 \cdot 0 + 3 \cdot 25 + \frac{75}{3} = 0 + 75 + 25 = 100$.
Решение: 0 петухов, 25 кур, 75 цыплят.

Случай 2: $x = 4$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 4}{4} = 25 - 7 = 18$
$z = 100 - x - y = 100 - 4 - 18 = 78$
Проверка стоимости: $5 \cdot 4 + 3 \cdot 18 + \frac{78}{3} = 20 + 54 + 26 = 100$.
Решение: 4 петуха, 18 кур, 78 цыплят.

Случай 3: $x = 8$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 8}{4} = 25 - 14 = 11$
$z = 100 - x - y = 100 - 8 - 11 = 81$
Проверка стоимости: $5 \cdot 8 + 3 \cdot 11 + \frac{81}{3} = 40 + 33 + 27 = 100$.
Решение: 8 петухов, 11 кур, 81 цыплёнок.

Случай 4: $x = 12$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 12}{4} = 25 - 21 = 4$
$z = 100 - x - y = 100 - 12 - 4 = 84$
Проверка стоимости: $5 \cdot 12 + 3 \cdot 4 + \frac{84}{3} = 60 + 12 + 28 = 100$.
Решение: 12 петухов, 4 курицы, 84 цыплёнка.

Таким образом, задача имеет четыре возможных решения в целых неотрицательных числах.

Ответ:
Задача имеет следующие возможные решения:
1. Петухов: 0, кур: 25, цыплят: 75.
2. Петухов: 4, кур: 18, цыплят: 78.
3. Петухов: 8, кур: 11, цыплят: 81.
4. Петухов: 12, кур: 4, цыплят: 84.