Номер 766, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 766, страница 219.

Условие.

766. Объясните, почему уравнение:

а) $x + y = 5,5$;

б) $3x - 2y = 1,1$;

в) $6x + 9y = 2$;

г) $2x + 4y = -1

не имеет решений в целых числах.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Рассмотрим уравнение $x + y = 5,5$. По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Сумма двух любых целых чисел всегда является целым числом. Однако в правой части уравнения стоит число $5,5$, которое не является целым. Поскольку целое число (значение выражения $x+y$) не может быть равно нецелому числу ($5,5$), у этого уравнения нет решений в целых числах.

Ответ: Сумма двух целых чисел ($x$ и $y$) всегда является целым числом, а $5,5$ — нецелое число.

б)

Рассмотрим уравнение $3x - 2y = 1,1$. Если $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $3x$ и $2y$ также будут целыми числами (как произведение целых чисел). Разность двух целых чисел ($3x - 2y$) всегда дает в результате целое число. В правой части уравнения стоит число $1,1$, которое не является целым. Таким образом, мы приходим к противоречию: целое число не может равняться нецелому. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Выражение в левой части ($3x - 2y$) при целых $x$ и $y$ всегда является целым числом, а правая часть ($1,1$) — нецелое число.

в)

Рассмотрим уравнение $6x + 9y = 2$. Заметим, что коэффициенты при переменных $x$ и $y$ (числа $6$ и $9$) имеют общий делитель — число $3$. Вынесем его за скобки в левой части уравнения: $3(2x + 3y) = 2$.
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то и значение выражения в скобках $2x + 3y$ будет целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $k = 2x + 3y$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Тогда уравнение принимает вид $3k = 2$. Из этого уравнения следует, что $k = \frac{2}{3}$.
Это противоречит тому, что $k$ должно быть целым числом. Значит, не существует таких целых $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы исходному уравнению.

Ответ: Левая часть уравнения ($6x + 9y$) при любых целых $x$ и $y$ делится нацело на $3$, а правая часть ($2$) на $3$ не делится.

г)

Рассмотрим уравнение $2x + 4y = -1$. В левой части уравнения оба слагаемых, $2x$ и $4y$, являются чётными числами при любых целых $x$ и $y$. Сумма двух чётных чисел также всегда является чётным числом. Таким образом, вся левая часть уравнения, $2x + 4y$, является чётным числом.
В правой части уравнения стоит число $-1$, которое является нечётным. Равенство между чётным и нечётным числом невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.
Другой способ рассуждения: вынесем общий множитель $2$ за скобки в левой части: $2(x + 2y) = -1$. Если $x$ и $y$ — целые числа, то $x + 2y$ — тоже целое число. Пусть $k = x+2y$. Тогда $2k = -1$, откуда $k = -\frac{1}{2}$. Это нецелое число, что приводит к противоречию.

Ответ: Левая часть уравнения ($2x + 4y$) при любых целых $x$ и $y$ является чётным числом, а правая часть ($-1$) — нечётным.