Номер 765, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 765, страница 219.

Условие.

765. Старинная задача.

У покупателя и продавца есть купюры по 5 р. и 50 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью:

a) 112 р.;

б) 30 р.?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, какие суммы можно составить, используя купюры номиналом 5 и 50 рублей. Процесс оплаты включает передачу денег от покупателя продавцу и, возможно, получение сдачи от продавца покупателю. И покупатель, и продавец используют только купюры по 5 и 50 рублей.

Пусть покупатель передает продавцу $x_1$ купюр по 5 рублей и $y_1$ купюр по 50 рублей. Сумма, которую он передал, равна $5x_1 + 50y_1$. Продавец, в свою очередь, может дать сдачу. Пусть он дает $x_2$ купюр по 5 рублей и $y_2$ купюр по 50 рублей. Сумма сдачи равна $5x_2 + 50y_2$.

Стоимость покупки, которую в итоге оплатил покупатель, равна разнице между суммой, которую он дал, и суммой полученной сдачи:

Стоимость $= (5x_1 + 50y_1) - (5x_2 + 50y_2) = 5(x_1 - x_2) + 50(y_1 - y_2)$

Обозначим $X = x_1 - x_2$ и $Y = y_1 - y_2$. $X$ и $Y$ — это целые числа, которые показывают чистое количество 5-рублевых и 50-рублевых купюр, перешедших от покупателя к продавцу. Тогда формула для стоимости покупки выглядит так:

Стоимость $= 5X + 50Y = 5(X + 10Y)$

Из этой формулы видно, что любая сумма, которую можно заплатить таким образом, должна быть кратна 5, так как она является произведением числа 5 и целого числа $(X + 10Y)$.

а) 112 р.

Проверим, можно ли заплатить 112 рублей. Для этого необходимо выяснить, делится ли число 112 на 5. Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Последняя цифра в числе 112 — это 2. Следовательно, 112 не делится на 5 ($112 = 5 \cdot 22 + 2$).

Так как стоимость покупки 112 р. не кратна 5, то не существует таких целых чисел $X$ и $Y$, для которых выполнялось бы равенство $112 = 5(X + 10Y)$. Значит, заплатить 112 рублей невозможно.

Ответ: нет, не сможет.

б) 30 р.

Проверим, можно ли заплатить 30 рублей. Для этого выясним, делится ли число 30 на 5. Последняя цифра в числе 30 — это 0. Следовательно, 30 делится на 5 без остатка ($30 = 5 \cdot 6$).

Значит, заплатить 30 рублей возможно. Нам нужно найти такие целые числа $X$ и $Y$, чтобы $30 = 5X + 50Y$. Разделим обе части уравнения на 5:

$6 = X + 10Y$

Мы можем найти несколько вариантов решения. Например, если $Y=0$, то $X=6$. Это соответствует ситуации, когда покупатель передает продавцу 6 купюр по 5 рублей ($6 \cdot 5 = 30$ р.) и не получает сдачи. Другой вариант: если $Y=1$, то $X = 6 - 10 = -4$. Это соответствует ситуации, когда покупатель платит одной купюрой в 50 рублей, а продавец дает ему сдачу 4 купюры по 5 рублей ($4 \cdot 5 = 20$ р.). Итоговая оплата: $50 - 20 = 30$ р.

Поскольку существует хотя бы один способ оплаты, то заплатить 30 рублей возможно.

Ответ: да, сможет.