Номер 772, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 772, страница 220.

Условие.

772. Старинная задача. Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток и малых чирков. Он дал работнику 16 алтын. Гусей велел покупать по 3 копейки за штуку, уток — по копейке, а малых чирков — по два на копейку. Сколько гусей, уток и чирков купил работник?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи введем переменные: Г — количество купленных гусей, У — количество купленных уток, Ч — количество купленных малых чирков.

Согласно условию, всего необходимо купить 20 птиц. Это дает нам первое уравнение:

$Г + У + Ч = 20$

Далее определим общую сумму денег. Работнику дали 16 алтын. В старинной русской денежной системе 1 алтын равен 3 копейкам. Следовательно, общая сумма составляет:

$16 \times 3 = 48$ копеек.

Стоимость гусей составляла 3 копейки за штуку, уток — 1 копейку за штуку, а малых чирков — 2 штуки на 1 копейку, что равно $1/2$ копейки за одного чирка. Составим второе уравнение, исходя из общей стоимости покупки:

$3Г + 1У + \frac{1}{2}Ч = 48$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными, которую нужно решить в целых положительных числах (так как нужно купить птиц каждого вида):

$\begin{cases} Г + У + Ч = 20 \\ 3Г + У + \frac{Ч}{2} = 48 \end{cases}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим второе уравнение на 2:

$6Г + 2У + Ч = 96$

Теперь вычтем первое уравнение ($Г + У + Ч = 20$) из полученного нового уравнения:

$(6Г + 2У + Ч) - (Г + У + Ч) = 96 - 20$

$5Г + У = 76$

Из этого уравнения выразим У:

$У = 76 - 5Г$

Поскольку количество уток У должно быть целым положительным числом ($У \ge 1$), получаем неравенство:

$76 - 5Г \ge 1 \implies 75 \ge 5Г \implies Г \le 15$

Теперь выразим Ч через Г. Из первого уравнения $Ч = 20 - Г - У$. Подставим в него выражение для У, которое мы нашли ($У = 76 - 5Г$):

$Ч = 20 - Г - (76 - 5Г) = 20 - Г - 76 + 5Г = 4Г - 56$

Количество чирков Ч также должно быть целым положительным числом ($Ч \ge 1$):

$4Г - 56 \ge 1 \implies 4Г \ge 57 \implies Г \ge 14.25$

Мы получили два условия для количества гусей Г: $Г \le 15$ и $Г \ge 14.25$. Единственное целое число, удовлетворяющее этим условиям, — это $Г = 15$.

Теперь, когда мы знаем Г, найдем У и Ч:

$У = 76 - 5 \times 15 = 76 - 75 = 1$

$Ч = 4 \times 15 - 56 = 60 - 56 = 4$

Проверим, выполняются ли исходные условия задачи: общее количество птиц равно $15 + 1 + 4 = 20$, а их общая стоимость равна $15 \times 3 + 1 \times 1 + 4 \times \frac{1}{2} = 45 + 1 + 2 = 48$ копеек. Все условия соблюдены.

Ответ: работник купил 15 гусей, 1 утку и 4 малых чирка.