Номер 770, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 770, страница 220.

Условие.

770. Задача Адама Ризе (XVI в.). 26 персон издержали вместе 88 марок, причём мужчины издержали по 6 марок, женщины — по 4, девушки — по 2. Сколько было мужчин, женщин и девушек?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем переменные:

Пусть $x$ — количество мужчин,
$y$ — количество женщин,
$z$ — количество девушек.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

Первое уравнение основано на общем количестве персон (26 человек): $x + y + z = 26$

Второе уравнение основано на общей сумме издержанных денег (88 марок): $6x + 4y + 2z = 88$

Поскольку количество людей должно быть целым и неотрицательным числом, нам нужно найти целочисленные решения этой системы ($x, y, z \in \mathbb{Z}$ и $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$).

Упростим второе уравнение, разделив все его члены на 2: $3x + 2y + z = 44$

Теперь наша система выглядит так:
1) $x + y + z = 26$
2) $3x + 2y + z = 44$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $z$:
$(3x + 2y + z) - (x + y + z) = 44 - 26$
$2x + y = 18$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 18 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение ($x + y + z = 26$), чтобы выразить $z$ через $x$:
$x + (18 - 2x) + z = 26$
$18 - x + z = 26$
$z = 26 - 18 + x$
$z = 8 + x$

Мы получили выражения для $y$ и $z$ через $x$. Теперь найдем возможные значения для $x$, учитывая, что $x, y, z$ должны быть неотрицательными целыми числами.

Условие $y \ge 0$ дает нам:
$18 - 2x \ge 0$
$18 \ge 2x$
$9 \ge x$

Условие $z \ge 0$ дает нам:
$8 + x \ge 0$, что всегда верно для любого неотрицательного $x$.

Таким образом, переменная $x$ (количество мужчин) может принимать любое целое значение от 0 до 9 включительно. Это означает, что задача имеет несколько решений. Найдем все возможные комбинации.

Возможные решения:

1. Если мужчин $x = 0$, то женщин $y = 18 - 2(0) = 18$, а девушек $z = 8 + 0 = 8$.
(0 мужчин, 18 женщин, 8 девушек)

2. Если мужчин $x = 1$, то женщин $y = 18 - 2(1) = 16$, а девушек $z = 8 + 1 = 9$.
(1 мужчина, 16 женщин, 9 девушек)

3. Если мужчин $x = 2$, то женщин $y = 18 - 2(2) = 14$, а девушек $z = 8 + 2 = 10$.
(2 мужчины, 14 женщин, 10 девушек)

4. Если мужчин $x = 3$, то женщин $y = 18 - 2(3) = 12$, а девушек $z = 8 + 3 = 11$.
(3 мужчины, 12 женщин, 11 девушек)

5. Если мужчин $x = 4$, то женщин $y = 18 - 2(4) = 10$, а девушек $z = 8 + 4 = 12$.
(4 мужчины, 10 женщин, 12 девушек)

6. Если мужчин $x = 5$, то женщин $y = 18 - 2(5) = 8$, а девушек $z = 8 + 5 = 13$.
(5 мужчин, 8 женщин, 13 девушек)

7. Если мужчин $x = 6$, то женщин $y = 18 - 2(6) = 6$, а девушек $z = 8 + 6 = 14$.
(6 мужчин, 6 женщин, 14 девушек)

8. Если мужчин $x = 7$, то женщин $y = 18 - 2(7) = 4$, а девушек $z = 8 + 7 = 15$.
(7 мужчин, 4 женщины, 15 девушек)

9. Если мужчин $x = 8$, то женщин $y = 18 - 2(8) = 2$, а девушек $z = 8 + 8 = 16$.
(8 мужчин, 2 женщины, 16 девушек)

10. Если мужчин $x = 9$, то женщин $y = 18 - 2(9) = 0$, а девушек $z = 8 + 9 = 17$.
(9 мужчин, 0 женщин, 17 девушек)

Каждая из этих 10 комбинаций удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Задача является неопределенной и имеет 10 возможных решений. Количество мужчин, женщин и девушек могло быть одним из следующих:

0 мужчин, 18 женщин, 8 девушек;
1 мужчина, 16 женщин, 9 девушек;
2 мужчины, 14 женщин, 10 девушек;
3 мужчины, 12 женщин, 11 девушек;
4 мужчины, 10 женщин, 12 девушек;
5 мужчин, 8 женщин, 13 девушек;
6 мужчин, 6 женщин, 14 девушек;
7 мужчин, 4 женщины, 15 девушек;
8 мужчин, 2 женщины, 16 девушек;
9 мужчин, 0 женщин, 17 девушек.