Номер 767, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 767, страница 219.

Условие.

767. В комнате стоят стулья и табуретки. У каждого стула 4 ножки, а у каждой табуретки 3 ножки. Если на всех стульях и табуретках сидят люди, то всего «ног» 39. Сколько в комнате стульев и сколько табуреток?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение:

Пусть $x$ — это количество стульев, а $y$ — количество табуреток в комнате.

Согласно условию, у каждого стула 4 ножки. Следовательно, общее количество ножек у всех стульев составляет $4x$.

У каждой табуретки 3 ножки. Таким образом, общее количество ножек у всех табуреток равно $3y$.

В задаче сказано, что на всех стульях и табуретках сидят люди. Это означает, что количество людей в комнате равно общему количеству предметов мебели, то есть $x + y$. У каждого человека по 2 ноги, поэтому общее количество ног у всех людей составляет $2 \cdot (x + y)$.

Общее количество всех «ног» в комнате (ножки стульев, ножки табуреток и ноги людей) равно 39. Мы можем составить уравнение, сложив все «ноги»:

$4x + 3y + 2(x+y) = 39$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4x + 3y + 2x + 2y = 39$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(4x + 2x) + (3y + 2y) = 39$

$6x + 5y = 39$

Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество предметов, они должны быть целыми и неотрицательными числами. Решим это уравнение в целых числах. Для этого выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:

$5y = 39 - 6x$

$y = \frac{39 - 6x}{5}$

Чтобы значение $y$ было целым, числитель $(39 - 6x)$ должен делиться на 5 без остатка. Кроме того, количество табуреток $y$ не может быть отрицательным, поэтому $39 - 6x \ge 0$, что означает $6x \le 39$, или $x \le 6.5$. Следовательно, нам нужно проверить все целые значения $x$ от 0 до 6.

- При $x = 0$: $y = (39 - 0) / 5 = 7.8$ (не целое).

- При $x = 1$: $y = (39 - 6) / 5 = 33 / 5 = 6.6$ (не целое).

- При $x = 2$: $y = (39 - 12) / 5 = 27 / 5 = 5.4$ (не целое).

- При $x = 3$: $y = (39 - 18) / 5 = 21 / 5 = 4.2$ (не целое).

- При $x = 4$: $y = (39 - 24) / 5 = 15 / 5 = 3$. Это целое число, следовательно, это подходящее решение.

- При $x = 5$: $y = (39 - 30) / 5 = 9 / 5 = 1.8$ (не целое).

- При $x = 6$: $y = (39 - 36) / 5 = 3 / 5 = 0.6$ (не целое).

Единственная пара целых неотрицательных чисел, являющаяся решением уравнения, — это $x=4$ и $y=3$.

Выполним проверку:
Ножки 4 стульев: $4 \cdot 4 = 16$.
Ножки 3 табуреток: $3 \cdot 3 = 9$.
Количество людей: $4 + 3 = 7$. Ноги 7 человек: $7 \cdot 2 = 14$.
Общее количество «ног»: $16 + 9 + 14 = 39$.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: в комнате 4 стула и 3 табуретки.