Номер 761, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 761, страница 215.

Условие.

761. а) Если $\frac{1}{3}$ пути турист пройдёт пешком, а $\frac{2}{3}$ пути проедет на велосипеде, то затратит на весь путь 1,5 ч. Если же $\frac{1}{3}$ пути он проедет на велосипеде, а $\frac{2}{3}$ пути пройдёт пешком, то затратит на весь путь 2 ч 15 мин. За какое время он пройдёт весь путь пешком?

б) Если $\frac{1}{4}$ бассейна наполнит первая труба, а затем $\frac{3}{4}$ вторая, то бассейн будет наполнен за 5 ч. Если же $\frac{3}{4}$ бассейна наполнит первая труба, а затем $\frac{1}{4}$ вторая, то бассейн будет наполнен за 7 ч. За какое время наполнит бассейн одна вторая труба?

в) Если $\frac{2}{5}$ пути турист проедет на поезде, а $\frac{3}{5}$ на автобусе, то он затратит на весь путь 4 ч. Если же $\frac{2}{5}$ пути турист проедет на автобусе, а $\frac{3}{5}$ на поезде, то затратит на весь путь 4 ч 20 мин. За какое время турист проедет весь путь на поезде?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Пусть $t_п$ — время, за которое турист пройдёт весь путь пешком, а $t_в$ — время, за которое он проедет весь путь на велосипеде.

Сначала переведём все временные интервалы в часы для удобства расчётов:
1,5 ч
2 ч 15 мин = $2 + \frac{15}{60}$ ч = $2 + \frac{1}{4}$ ч = 2,25 ч

Исходя из условий задачи, можно составить систему из двух линейных уравнений:
1. Если турист $\frac{1}{3}$ пути идёт пешком (затрачивая $\frac{1}{3}t_п$ времени) и $\frac{2}{3}$ пути едет на велосипеде (затрачивая $\frac{2}{3}t_в$ времени), общее время составляет 1,5 часа.
$\frac{1}{3}t_п + \frac{2}{3}t_в = 1,5$
2. Если турист $\frac{2}{3}$ пути идёт пешком (затрачивая $\frac{2}{3}t_п$ времени) и $\frac{1}{3}$ пути едет на велосипеде (затрачивая $\frac{1}{3}t_в$ времени), общее время составляет 2,25 часа.
$\frac{2}{3}t_п + \frac{1}{3}t_в = 2,25$

Умножим оба уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:
1) $t_п + 2t_в = 4,5$
2) $2t_п + t_в = 6,75$

Для решения системы можно использовать метод сложения. Сложим оба уравнения:
$(t_п + 2t_в) + (2t_п + t_в) = 4,5 + 6,75$
$3t_п + 3t_в = 11,25$
Разделив обе части на 3, получим:
$t_п + t_в = 3,75$

Теперь, чтобы найти $t_п$, исключим $t_в$. Умножим второе уравнение ($2t_п + t_в = 6,75$) на 2:
$4t_п + 2t_в = 13,5$
Теперь вычтем из этого результата первое уравнение ($t_п + 2t_в = 4,5$):
$(4t_п + 2t_в) - (t_п + 2t_в) = 13,5 - 4,5$
$3t_п = 9$
$t_п = 3$

Таким образом, время, за которое турист пройдёт весь путь пешком, составляет 3 часа.

Ответ: 3 часа.

б)

Пусть $T_1$ — время, за которое первая труба может наполнить весь бассейн, а $T_2$ — время, за которое вторая труба может наполнить весь бассейн.

На основе условий задачи составим систему уравнений:
1. Первая труба наполняет $\frac{1}{4}$ бассейна (за время $\frac{1}{4}T_1$), а вторая — оставшиеся $\frac{3}{4}$ (за время $\frac{3}{4}T_2$). Общее время — 5 часов.
$\frac{1}{4}T_1 + \frac{3}{4}T_2 = 5$
2. Первая труба наполняет $\frac{3}{4}$ бассейна (за время $\frac{3}{4}T_1$), а вторая — оставшуюся $\frac{1}{4}$ (за время $\frac{1}{4}T_2$). Общее время — 7 часов.
$\frac{3}{4}T_1 + \frac{1}{4}T_2 = 7$

Умножим оба уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
1) $T_1 + 3T_2 = 20$
2) $3T_1 + T_2 = 28$

Нам нужно найти $T_2$. Для этого решим систему методом подстановки. Выразим $T_1$ из первого уравнения:
$T_1 = 20 - 3T_2$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$3(20 - 3T_2) + T_2 = 28$
$60 - 9T_2 + T_2 = 28$
$60 - 8T_2 = 28$
$8T_2 = 60 - 28$
$8T_2 = 32$
$T_2 = \frac{32}{8} = 4$

Следовательно, вторая труба в одиночку наполнит весь бассейн за 4 часа.

Ответ: за 4 часа.

в)

Пусть $t_{поезд}$ — время, за которое турист проедет весь путь на поезде, а $t_{автобус}$ — время, за которое он проедет весь путь на автобусе.

Переведём время в часы:
4 ч 20 мин = $4 + \frac{20}{60}$ ч = $4 + \frac{1}{3}$ ч = $\frac{13}{3}$ ч

Составим систему уравнений по условиям задачи:
1. Турист проехал $\frac{2}{5}$ пути на поезде и $\frac{3}{5}$ на автобусе, затратив 4 часа.
$\frac{2}{5}t_{поезд} + \frac{3}{5}t_{автобус} = 4$
2. Турист проехал $\frac{3}{5}$ пути на поезде и $\frac{2}{5}$ на автобусе, затратив $\frac{13}{3}$ часа.
$\frac{3}{5}t_{поезд} + \frac{2}{5}t_{автобус} = \frac{13}{3}$

Умножим оба уравнения на 5:
1) $2t_{поезд} + 3t_{автобус} = 20$
2) $3t_{поезд} + 2t_{автобус} = \frac{65}{3}$

Для нахождения $t_{поезд}$ решим систему методом исключения переменной $t_{автобус}$.
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
1') $4t_{поезд} + 6t_{автобус} = 40$
2') $9t_{поезд} + 6t_{автобус} = \frac{65}{3} \cdot 3 = 65$

Теперь вычтем уравнение 1') из уравнения 2'):
$(9t_{поезд} + 6t_{автобус}) - (4t_{поезд} + 6t_{автобус}) = 65 - 40$
$5t_{поезд} = 25$
$t_{поезд} = \frac{25}{5} = 5$

Таким образом, чтобы проехать весь путь на поезде, туристу потребуется 5 часов.

Ответ: за 5 часов.