Номер 749, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 749, страница 213.

Условие.

749. Две бригады школьников во время производственной практики заработали 11 700 р. Первая работала 15 дней, вторая — 14 дней. Сколько зарабатывала каждая бригада в день, если первая за 4 дня заработала на 1100 р. больше, чем вторая за 3 дня? Какое допущение необходимо сделать для решения задачи?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Сколько зарабатывала каждая бригада в день?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $x$ — это дневной заработок первой бригады в рублях.
• Пусть $y$ — это дневной заработок второй бригады в рублях.

Исходя из условий задачи, составим систему из двух уравнений.

Первое уравнение основано на общем заработке. Первая бригада работала 15 дней и заработала $15x$ рублей. Вторая бригада работала 14 дней и заработала $14y$ рублей. Вместе они заработали 11 700 рублей:

$15x + 14y = 11700$

Второе уравнение основано на сравнении их заработков за разные периоды. Первая бригада за 4 дня заработала $4x$ рублей, а вторая за 3 дня — $3y$ рублей. По условию, заработок первой бригады на 1100 рублей больше:

$4x = 3y + 1100$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$4x - 3y = 1100$

Теперь у нас есть система уравнений:

$ \begin{cases} 15x + 14y = 11700 \\ 4x - 3y = 1100 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на 14, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$ \begin{cases} (15x + 14y) \cdot 3 = 11700 \cdot 3 \\ (4x - 3y) \cdot 14 = 1100 \cdot 14 \end{cases} $

$ \begin{cases} 45x + 42y = 35100 \\ 56x - 42y = 15400 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(45x + 42y) + (56x - 42y) = 35100 + 15400$

$101x = 50500$

Найдем $x$:

$x = \frac{50500}{101} = 500$

Итак, первая бригада зарабатывала 500 рублей в день.

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение ($4x - 3y = 1100$), чтобы найти $y$:

$4(500) - 3y = 1100$

$2000 - 3y = 1100$

$3y = 2000 - 1100$

$3y = 900$

$y = \frac{900}{3} = 300$

Итак, вторая бригада зарабатывала 300 рублей в день.

Проверим найденные значения, подставив их в первое исходное уравнение:

$15(500) + 14(300) = 7500 + 4200 = 11700$

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: первая бригада зарабатывала 500 рублей в день, а вторая — 300 рублей в день.

Какое допущение необходимо сделать для решения задачи?

Для того чтобы можно было составить и решить систему уравнений, необходимо сделать допущение, что производительность труда (и, соответственно, дневной заработок) каждой бригады была постоянной в течение всего периода производственной практики. То есть, первая бригада каждый день зарабатывала одну и ту же сумму, и вторая бригада также зарабатывала одинаковую сумму каждый день своей работы.

Ответ: необходимо допустить, что дневной заработок каждой бригады был постоянной величиной на протяжении всего времени работы.