Страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (810—815):

810. а) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2};$

б) $\frac{1}{7} + \frac{5}{7};$

в) $\frac{3}{5} + \frac{4}{5};$

г) $1\frac{1}{3} + \frac{2}{3};$

д) $2\frac{7}{9} + \frac{4}{9};$

е) $3\frac{2}{5} + 12\frac{4}{5}.$

а) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Если в результате получается сократимая дробь, ее нужно сократить.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1

б) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 7, для этого складываем их числители.

$\frac{1}{7} + \frac{5}{7} = \frac{1+5}{7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

в) Складываем числители дробей с одинаковым знаменателем 5. В результате получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), которую нужно преобразовать в смешанное число. Для этого делим числитель на знаменатель: 7 разделить на 5 равно 1 и 2 в остатке. Целая часть становится целой частью смешанного числа, а остаток — числителем дробной части.

$\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{3+4}{5} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$

Ответ: $1\frac{2}{5}$

г) Чтобы сложить смешанное число и дробь, можно сложить их дробные части. Целую часть оставляем без изменений. Сумма дробных частей $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$ равна $\frac{3}{3}$, что равно 1. Прибавляем эту единицу к целой части.

$1\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 1 + \frac{1+2}{3} = 1 + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2

д) Складываем дробные части $\frac{7}{9}$ и $\frac{4}{9}$. Получаем неправильную дробь $\frac{11}{9}$. Преобразуем ее в смешанное число $1\frac{2}{9}$. Затем прибавляем полученное смешанное число к целой части исходного числа.

$2\frac{7}{9} + \frac{4}{9} = 2 + (\frac{7}{9} + \frac{4}{9}) = 2 + \frac{7+4}{9} = 2 + \frac{11}{9} = 2 + 1\frac{2}{9} = 3\frac{2}{9}$

Ответ: $3\frac{2}{9}$

е) Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно — дробные. Сумма целых частей: $3+12=15$. Сумма дробных частей: $\frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$. Преобразуем неправильную дробь $\frac{6}{5}$ в смешанное число $1\frac{1}{5}$. Теперь сложим результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей: $15 + 1\frac{1}{5} = 16\frac{1}{5}$.

$3\frac{2}{5} + 12\frac{4}{5} = (3+12) + (\frac{2}{5} + \frac{4}{5}) = 15 + \frac{2+4}{5} = 15 + \frac{6}{5} = 15 + 1\frac{1}{5} = 16\frac{1}{5}$

Ответ: $16\frac{1}{5}$

811. a) $ \frac{9}{11} - \frac{8}{11} $;

б) $ \frac{6}{7} - \frac{2}{7} $;

в) $ 1 - \frac{1}{9} $;

г) $ 12 - \frac{1}{3} $;

д) $ 127 - \frac{2}{5} $;

е) $ 193 - \frac{4}{9} $;

ж) $ 13\frac{3}{4} - \frac{1}{2} $;

з) $ 13\frac{1}{2} - \frac{1}{3} $;

и) $ 15\frac{4}{5} - 8\frac{2}{5} $;

к) $ 20\frac{3}{8} - 16\frac{1}{4} $;

л) $ 3\frac{1}{6} - \frac{1}{3} $;

м) $ 2\frac{1}{3} - \frac{1}{2} $;

н) $ 10\frac{1}{5} - \frac{2}{5} $;

о) $ \frac{3}{7} - \frac{4}{5} $;

п) $ 3\frac{1}{2} - 2\frac{2}{3} $.

а) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{9}{11} - \frac{8}{11} = \frac{9-8}{11} = \frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$

б) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители.

$\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \frac{6-2}{7} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$

в) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 9.

$1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9-1}{9} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

г) Чтобы вычесть из целого числа дробь, "займем" единицу у целого числа и представим ее в виде дроби с нужным знаменателем.

$12 - \frac{1}{3} = 11 + 1 - \frac{1}{3} = 11 + \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = 11 + \frac{3-1}{3} = 11\frac{2}{3}$

Ответ: $11\frac{2}{3}$

д) "Займем" единицу у 127 и представим ее в виде дроби со знаменателем 5.

$127 - \frac{2}{5} = 126 + 1 - \frac{2}{5} = 126 + \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 126 + \frac{5-2}{5} = 126\frac{3}{5}$

Ответ: $126\frac{3}{5}$

е) "Займем" единицу у 193 и представим ее в виде дроби со знаменателем 9.

$193 - \frac{4}{9} = 192 + 1 - \frac{4}{9} = 192 + \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = 192 + \frac{9-4}{9} = 192\frac{5}{9}$

Ответ: $192\frac{5}{9}$

ж) Приведем дробную часть вычитаемого к общему знаменателю 4.

$13\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = 13\frac{3}{4} - \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 13\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = 13\frac{3-2}{4} = 13\frac{1}{4}$

Ответ: $13\frac{1}{4}$

з) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 - это 6.

$13\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 13\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 13\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = 13\frac{3-2}{6} = 13\frac{1}{6}$

Ответ: $13\frac{1}{6}$

и) Вычитаем целые части и дробные части отдельно.

$15\frac{4}{5} - 8\frac{2}{5} = (15-8) + (\frac{4}{5} - \frac{2}{5}) = 7 + \frac{4-2}{5} = 7 + \frac{2}{5} = 7\frac{2}{5}$

Ответ: $7\frac{2}{5}$

к) Приведем дробные части к общему знаменателю 8, затем вычтем целые и дробные части.

$20\frac{3}{8} - 16\frac{1}{4} = 20\frac{3}{8} - 16\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = 20\frac{3}{8} - 16\frac{2}{8} = (20-16) + (\frac{3}{8} - \frac{2}{8}) = 4 + \frac{1}{8} = 4\frac{1}{8}$

Ответ: $4\frac{1}{8}$

л) Приведем дроби к общему знаменателю 6. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{6}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{2}{6}$), "займем" единицу у целой части.

$3\frac{1}{6} - \frac{1}{3} = 3\frac{1}{6} - \frac{2}{6} = 2 + 1 + \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = 2 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = 2 + \frac{7}{6} - \frac{2}{6} = 2 + \frac{5}{6} = 2\frac{5}{6}$

Ответ: $2\frac{5}{6}$

м) Приведем дроби к общему знаменателю 6. Так как $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$, "займем" единицу у целой части.

$2\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = 2\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = 1 + 1 + \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = 1 + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = 1 + \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = 1 + \frac{5}{6} = 1\frac{5}{6}$

Ответ: $1\frac{5}{6}$

н) Дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{5}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{2}{5}$), поэтому "займем" единицу у целой части.

$10\frac{1}{5} - \frac{2}{5} = 9 + 1 + \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = 9 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = 9 + \frac{6}{5} - \frac{2}{5} = 9 + \frac{4}{5} = 9\frac{4}{5}$

Ответ: $9\frac{4}{5}$

о) Приведем дроби к общему знаменателю 35. Затем вычтем числители.

$\frac{3}{7} - \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{15}{35} - \frac{28}{35} = \frac{15 - 28}{35} = -\frac{13}{35}$

Ответ: $-\frac{13}{35}$

п) Приведем дробные части к общему знаменателю 6. Так как $\frac{3}{6} < \frac{4}{6}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$3\frac{1}{2} - 2\frac{2}{3} = 3\frac{3}{6} - 2\frac{4}{6} = (2 + \frac{6}{6} + \frac{3}{6}) - 2\frac{4}{6} = 2\frac{9}{6} - 2\frac{4}{6} = (2-2) + (\frac{9}{6} - \frac{4}{6}) = 0 + \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

812. а) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3};$

б) $ \frac{2}{6} \cdot \frac{6}{7};$

в) $ \frac{7}{8} \cdot \frac{24}{49};$

г) $ \frac{100}{121} \cdot \frac{55}{144};$

д) $ \frac{3}{8} \cdot 2;$

е) $ \frac{4}{5} \cdot 6;$

ж) $ 3 \cdot 1 \frac{1}{8};$

з) $ 0 \cdot \frac{1}{4};$

и) $ 4 \cdot 2 \frac{1}{12}.$

а) Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и знаменатели. Результат, если возможно, следует сократить.
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} $
Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе:
$ \frac{1 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $

б) Умножим дроби, предварительно сократив общие множители.
$ \frac{2}{6} \cdot \frac{6}{7} $
Общий множитель 6 находится в знаменателе первой дроби и в числителе второй. Сократим его:
$ \frac{2}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{7} = \frac{2}{7} $
Ответ: $ \frac{2}{7} $

в) Умножим дроби, предварительно сократив общие множители.
$ \frac{7}{8} \cdot \frac{24}{49} $
Сократим 7 и 49 на 7. Получим 1 и 7.
Сократим 8 и 24 на 8. Получим 1 и 3.
$ \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{8}^1} \cdot \frac{\cancel{24}^3}{\cancel{49}^7} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 7} = \frac{3}{7} $
Ответ: $ \frac{3}{7} $

г) Умножим дроби, предварительно сократив общие множители.
$ \frac{100}{121} \cdot \frac{55}{144} $
Сократим 100 и 144 на 4. Получим 25 и 36.
Сократим 121 и 55 на 11. Получим 11 и 5.
$ \frac{\cancel{100}^{25}}{\cancel{121}^{11}} \cdot \frac{\cancel{55}^{5}}{\cancel{144}^{36}} = \frac{25 \cdot 5}{11 \cdot 36} = \frac{125}{396} $
Ответ: $ \frac{125}{396} $

д) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1.
$ \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 1} = \frac{6}{8} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} $
Ответ: $ \frac{3}{4} $

е) Умножим дробь на целое число.
$ \frac{4}{5} \cdot 6 = \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{1} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 1} = \frac{24}{5} $
Так как числитель больше знаменателя, это неправильная дробь. Выделим целую часть:
$ \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} $
Ответ: $ 4\frac{4}{5} $

ж) Чтобы умножить целое число на смешанное число, нужно сначала превратить смешанное число в неправильную дробь.
$ 1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8} $
Теперь выполним умножение:
$ 3 \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3 \cdot 9}{1 \cdot 8} = \frac{27}{8} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} $
Ответ: $ 3\frac{3}{8} $

з) Произведение любого числа на ноль равно нулю.
$ 0 \cdot \frac{1}{4} = 0 $
Ответ: $ 0 $

и) Умножим целое число на смешанное, предварительно преобразовав смешанное число в неправильную дробь.
$ 2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12} $
Теперь выполним умножение, представив 4 как $ \frac{4}{1} $:
$ 4 \cdot \frac{25}{12} = \frac{4}{1} \cdot \frac{25}{12} $
Сократим 4 и 12 на 4:
$ \frac{\cancel{4}^1}{1} \cdot \frac{25}{\cancel{12}^3} = \frac{1 \cdot 25}{1 \cdot 3} = \frac{25}{3} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} $
Ответ: $ 8\frac{1}{3} $

813. а) $4\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{14};$

б) $2\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{14};$

в) $\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{8};$

г) $5\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{34};$

д) $\frac{4}{7} \cdot 3\frac{1}{16};$

е) $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3};$

ж) $2\frac{1}{7} \cdot 1\frac{13}{15};$

з) $10\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{2}.$

а)

Чтобы умножить смешанное число на дробь, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь выполним умножение:

$4 \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{14}{3} \cdot \frac{9}{14}$

Сократим дроби перед умножением. Числитель первой дроби (14) и знаменатель второй дроби (14) сокращаются. Знаменатель первой дроби (3) и числитель второй дроби (9) сокращаются на 3:

$\frac{14}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{14 \div 14}{3 \div 3} \cdot \frac{9 \div 3}{14 \div 14} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} = 3$

Ответ: $3$

б)

Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Выполним умножение:

$2 \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{14} = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{14}$

Сократим числитель первой дроби (7) и знаменатель второй дроби (14) на 7:

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{14} = \frac{7 \div 7}{3} \cdot \frac{1}{14 \div 7} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

в)

Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1 \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$

Выполним умножение:

$\frac{2}{3} \cdot 1 \frac{1}{8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}$

Сократим числитель первой дроби (2) и знаменатель второй (8) на 2. Сократим знаменатель первой дроби (3) и числитель второй (9) на 3:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2 \div 2}{3 \div 3} \cdot \frac{9 \div 3}{8 \div 2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

г)

Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$5 \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$

Выполним умножение:

$5 \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{34} = \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34}$

Сократим числитель первой дроби (17) и знаменатель второй (34) на 17. Сократим знаменатель первой дроби (3) и числитель второй (9) на 3:

$\frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = \frac{17 \div 17}{3 \div 3} \cdot \frac{9 \div 3}{34 \div 17} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$

Ответ: $1 \frac{1}{2}$

д)

Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$3 \frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48 + 1}{16} = \frac{49}{16}$

Выполним умножение:

$\frac{4}{7} \cdot 3 \frac{1}{16} = \frac{4}{7} \cdot \frac{49}{16}$

Сократим числитель первой дроби (4) и знаменатель второй (16) на 4. Сократим знаменатель первой дроби (7) и числитель второй (49) на 7:

$\frac{4}{7} \cdot \frac{49}{16} = \frac{4 \div 4}{7 \div 7} \cdot \frac{49 \div 7}{16 \div 4} = \frac{1}{1} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$

Ответ: $1 \frac{3}{4}$

е)

Представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей:

$1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$2 \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Выполним умножение:

$1 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3}$

Сократим числитель первой дроби (3) и знаменатель второй (3). Сократим знаменатель первой дроби (2) и числитель второй (8) на 2:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \div 3}{2 \div 2} \cdot \frac{8 \div 2}{3 \div 3} = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = 4$

Ответ: $4$

ж)

Представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей:

$2 \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

$1 \frac{13}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 13}{15} = \frac{28}{15}$

Выполним умножение:

$2 \frac{1}{7} \cdot 1 \frac{13}{15} = \frac{15}{7} \cdot \frac{28}{15}$

Сократим числитель первой дроби (15) и знаменатель второй (15). Сократим знаменатель первой дроби (7) и числитель второй (28) на 7:

$\frac{15}{7} \cdot \frac{28}{15} = \frac{15 \div 15}{7 \div 7} \cdot \frac{28 \div 7}{15 \div 15} = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = 4$

Ответ: $4$

з)

Представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей:

$10 \frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$

$1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Выполним умножение:

$10 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} = \frac{21}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{63}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:

$63 \div 4 = 15$ (остаток $3$)

$\frac{63}{4} = 15 \frac{3}{4}$

Ответ: $15 \frac{3}{4}$

814. а) $\frac{1}{2} : \frac{1}{3};$

б) $\frac{2}{5} : \frac{15}{18};$

в) $\frac{14}{15} : \frac{18}{25};$

г) $\frac{3}{7} : \frac{63}{84};$

д) $\frac{2}{3} : 2;$

е) $\frac{6}{7} : 3;$

ж) $10 : \frac{5}{7};$

з) $\frac{9}{10} : 13;$

и) $1\frac{1}{3} : 8;$

к) $10 : 2\frac{1}{2};$

л) $3\frac{2}{5} : 34;$

м) $18 : 7\frac{1}{5}.$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} $.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б) Выполняем деление дробей, умножая первую дробь на обратную ко второй.
$ \frac{2}{5} \div \frac{15}{18} = \frac{2}{5} \cdot \frac{18}{15} = \frac{2 \cdot 18}{5 \cdot 15} = \frac{36}{75} $.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 75 это 3.
$ \frac{36 \div 3}{75 \div 3} = \frac{12}{25} $.
Ответ: $\frac{12}{25}$.

в) Умножаем первую дробь на обратную ко второй и выполняем сокращение до перемножения числителей и знаменателей.
$ \frac{14}{15} \div \frac{18}{25} = \frac{14}{15} \cdot \frac{25}{18} $.
Сокращаем 14 и 18 на 2 (получаем 7 и 9). Сокращаем 25 и 15 на 5 (получаем 5 и 3).
$ \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 9} = \frac{35}{27} $.
Выделяем целую часть: $ \frac{35}{27} = 1\frac{8}{27} $.
Ответ: $1\frac{8}{27}$.

г) Сначала упростим вторую дробь, разделив ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 21.
$ \frac{63}{84} = \frac{63 \div 21}{84 \div 21} = \frac{3}{4} $.
Теперь выполним деление:
$ \frac{3}{7} \div \frac{3}{4} = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\cancel{3} \cdot 4}{7 \cdot \cancel{3}} = \frac{4}{7} $.
Ответ: $\frac{4}{7}$.

д) Чтобы разделить дробь на целое число, можно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1 и выполнить деление дробей.
$ \frac{2}{3} \div 2 = \frac{2}{3} \div \frac{2}{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} $.
Сокращаем дробь: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

е) Делим дробь на целое число.
$ \frac{6}{7} \div 3 = \frac{6}{7} \div \frac{3}{1} = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} $.
Сокращаем дробь на 3: $ \frac{6 \div 3}{21 \div 3} = \frac{2}{7} $.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

ж) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю.
$ 10 \div \frac{5}{7} = \frac{10}{1} \cdot \frac{7}{5} = \frac{10 \cdot 7}{5} $.
Сокращаем 10 и 5 на 5:
$ \frac{2 \cdot 7}{1} = 14 $.
Ответ: $14$.

з) Делим дробь на целое число.
$ \frac{9}{10} \div 13 = \frac{9}{10} \div \frac{13}{1} = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{13} = \frac{9 \cdot 1}{10 \cdot 13} = \frac{9}{130} $.
Ответ: $\frac{9}{130}$.

и) Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $.
Теперь выполним деление на целое число:
$ \frac{4}{3} \div 8 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{3 \cdot 8} = \frac{4}{24} $.
Сокращаем дробь на 4: $ \frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6} $.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

к) Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} $.
Выполним деление целого числа на дробь:
$ 10 \div \frac{5}{2} = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{10 \cdot 2}{5} = \frac{20}{5} = 4 $.
Ответ: $4$.

л) Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} $.
Выполним деление на целое число:
$ \frac{17}{5} \div 34 = \frac{17}{5} \cdot \frac{1}{34} = \frac{17}{5 \cdot 34} $.
Сокращаем 17 и 34 на 17:
$ \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10} $.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

м) Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{36}{5} $.
Выполним деление:
$ 18 \div \frac{36}{5} = 18 \cdot \frac{5}{36} = \frac{18 \cdot 5}{36} $.
Сокращаем 18 и 36 на 18:
$ \frac{1 \cdot 5}{2} = \frac{5}{2} $.
Выделяем целую часть: $ \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $.
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

815. а) $(4\frac{2}{8} + 5\frac{1}{2}) \cdot 6;$

б) $(4 - 1\frac{1}{3} \cdot 2) \cdot \frac{1}{2};$

в) $6\frac{3}{5} \cdot 7\frac{1}{6} - 2\frac{1}{6} \cdot 6\frac{3}{5};$

г) $3\frac{3}{4} \cdot 3\frac{3}{4} + 3\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}.$

а) $(4\frac{2}{8} + 5\frac{1}{2}) \cdot 6$

1. Сначала выполним действие в скобках. Сократим дробь $4\frac{2}{8}$ до $4\frac{1}{4}$ и приведем дроби к общему знаменателю 4.
$4\frac{2}{8} + 5\frac{1}{2} = 4\frac{1}{4} + 5\frac{2}{4} = (4+5) + (\frac{1}{4} + \frac{2}{4}) = 9\frac{3}{4}$.
2. Теперь умножим полученный результат на 6. Для этого представим смешанное число $9\frac{3}{4}$ в виде неправильной дроби.
$9\frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{39}{4}$.
3. Выполним умножение.
$\frac{39}{4} \cdot 6 = \frac{39 \cdot 6}{4} = \frac{234}{4}$.
4. Сократим дробь и преобразуем ее в смешанное число.
$\frac{234}{4} = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2}$.

Ответ: $58\frac{1}{2}$

б) $(4 - 1\frac{1}{3} \cdot 2) \cdot \frac{1}{2}$

1. Согласно порядку действий, сначала выполним умножение в скобках. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3}$.
2. Теперь выполним вычитание в скобках.
$4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
3. Умножим результат на $\frac{1}{2}$.
$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.
4. Сократим полученную дробь.
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) $6\frac{3}{5} \cdot 7\frac{1}{6} - 2\frac{1}{6} \cdot 6\frac{3}{5}$

1. Заметим, что у нас есть общий множитель $6\frac{3}{5}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$ и вынесем общий множитель за скобки.
$6\frac{3}{5} \cdot (7\frac{1}{6} - 2\frac{1}{6})$.
2. Выполним вычитание в скобках.
$7\frac{1}{6} - 2\frac{1}{6} = (7-2) + (\frac{1}{6}-\frac{1}{6}) = 5$.
3. Теперь умножим $6\frac{3}{5}$ на 5. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$6\frac{3}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{33}{5}$.
4. Выполним умножение.
$\frac{33}{5} \cdot 5 = 33$.

Ответ: $33$

г) $3\frac{3}{4} \cdot 3\frac{3}{4} + 3\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

1. Как и в предыдущем примере, воспользуемся распределительным свойством $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$ и вынесем общий множитель $3\frac{3}{4}$ за скобки.
$3\frac{3}{4} \cdot (3\frac{3}{4} + \frac{1}{2})$.
2. Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4.
$3\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = 3\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = 3\frac{5}{4}$.
3. Преобразуем $3\frac{5}{4}$ в правильное смешанное число: $3\frac{5}{4} = 3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$.
4. Теперь нужно умножить $3\frac{3}{4}$ на $4\frac{1}{4}$. Переведем оба числа в неправильные дроби.
$3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$
$4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$
5. Выполним умножение.
$\frac{15}{4} \cdot \frac{17}{4} = \frac{15 \cdot 17}{4 \cdot 4} = \frac{255}{16}$.
6. Переведем неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{255}{16} = 15\frac{15}{16}$.

Ответ: $15\frac{15}{16}$

Вычислите (816–823):

816. а) $\frac{1}{3} - \frac{1}{2}$;

б) $\frac{2}{7} - \frac{4}{5}$;

в) $-\frac{2}{8} + \frac{7}{9}$;

г) $-\frac{3}{8} - \frac{7}{12}$;

д) $2 - 3\frac{1}{2}$;

е) $4\frac{1}{3} - 5$;

ж) $3\frac{1}{2} - 7\frac{2}{3}$;

з) $-8\frac{1}{4} - 2\frac{1}{3}$;

и) $5\frac{1}{7} - 7\frac{5}{6}$.

а) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 3 и 2 равно 6.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а второй дроби на 3:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$
Теперь вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним:
$\frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$
Ответ: $-\frac{1}{6}$

б) Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(7, 5) = 35.
$\frac{2}{7} - \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{10}{35} - \frac{28}{35}$
$\frac{10 - 28}{35} = -\frac{18}{35}$
Ответ: $-\frac{18}{35}$

в) Сначала сократим первую дробь: $-\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Получаем выражение: $-\frac{1}{4} + \frac{7}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(4, 9) = 36.
$-\frac{1}{4} + \frac{7}{9} = -\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{9}{36} + \frac{28}{36}$
$\frac{-9 + 28}{36} = \frac{19}{36}$
Ответ: $\frac{19}{36}$

г) Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(8, 12) = 24.
$-\frac{3}{8} - \frac{7}{12} = -\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = -\frac{9}{24} - \frac{14}{24}$
$\frac{-9 - 14}{24} = \frac{-23}{24} = -\frac{23}{24}$
Ответ: $-\frac{23}{24}$

д) Представим смешанное число $3\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.
Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 2: $2 = \frac{4}{2}$.
$2 - 3\frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{7}{2} = \frac{4 - 7}{2} = -\frac{3}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.
Ответ: $-1\frac{1}{2}$

е) Представим смешанное число $4\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.
Представим число 5 в виде дроби со знаменателем 3: $5 = \frac{15}{3}$.
$4\frac{1}{3} - 5 = \frac{13}{3} - \frac{15}{3} = \frac{13 - 15}{3} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

ж) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
$7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(2, 3) = 6.
$\frac{7}{2} - \frac{23}{3} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{23 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{21}{6} - \frac{46}{6}$
$\frac{21 - 46}{6} = -\frac{25}{6}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{25}{6} = -4\frac{1}{6}$.
Ответ: $-4\frac{1}{6}$

з) Складываем два отрицательных числа. Можно вынести минус за скобки: $-8\frac{1}{4} - 2\frac{1}{3} = -(8\frac{1}{4} + 2\frac{1}{3})$.
Сложим целые и дробные части по отдельности:
$8+2=10$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$
Сложим результаты: $10 + \frac{7}{12} = 10\frac{7}{12}$.
Не забываем про знак минус: $-(10\frac{7}{12}) = -10\frac{7}{12}$.
Ответ: $-10\frac{7}{12}$

и) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$
$7\frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{47}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(7, 6) = 42.
$\frac{36}{7} - \frac{47}{6} = \frac{36 \cdot 6}{7 \cdot 6} - \frac{47 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{216}{42} - \frac{329}{42}$
$\frac{216 - 329}{42} = -\frac{113}{42}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $113 \div 42 = 2$ (остаток $113 - 2 \cdot 42 = 113 - 84 = 29$).
$-\frac{113}{42} = -2\frac{29}{42}$.
Ответ: $-2\frac{29}{42}$