Страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1119. Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению, лодке требуется времени в 3 раза меньше, чем против течения. Во сколько раз собственная скорость лодки больше скорости течения?

Пусть $v_л$ — собственная скорость лодки, $v_т$ — скорость течения, а $S$ — некоторое расстояние.

Скорость лодки при движении по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_т$.
Скорость лодки при движении против течения равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_т$.

Время, которое лодка тратит на путь по течению, можно выразить формулой: $t_{по} = \frac{S}{v_л + v_т}$.
Время, которое лодка тратит на тот же путь против течения, составляет: $t_{против} = \frac{S}{v_л - v_т}$.

По условию задачи, на путь по течению требуется в 3 раза меньше времени, чем на путь против течения. Это значит, что время движения против течения в 3 раза больше времени движения по течению:
$t_{против} = 3 \cdot t_{по}$

Подставим в это равенство выражения для времени:
$\frac{S}{v_л - v_т} = 3 \cdot \frac{S}{v_л + v_т}$

Поскольку расстояние $S$ в обеих частях уравнения одинаково и не равно нулю, мы можем сократить его:
$\frac{1}{v_л - v_т} = \frac{3}{v_л + v_т}$

Теперь решим полученное уравнение. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$1 \cdot (v_л + v_т) = 3 \cdot (v_л - v_т)$
$v_л + v_т = 3v_л - 3v_т$

Сгруппируем слагаемые с $v_л$ в одной части уравнения, а с $v_т$ — в другой:
$v_т + 3v_т = 3v_л - v_л$
$4v_т = 2v_л$

Вопрос задачи — "во сколько раз собственная скорость лодки больше скорости течения?". Для ответа на него нам нужно найти отношение $\frac{v_л}{v_т}$.
Из уравнения $4v_т = 2v_л$ выразим это отношение. Для этого разделим обе части уравнения на $2v_т$ (скорости не могут быть равны нулю):
$\frac{4v_т}{2v_т} = \frac{2v_л}{2v_т}$
$2 = \frac{v_л}{v_т}$

Таким образом, собственная скорость лодки в 2 раза больше скорости течения.

Ответ: в 2 раза.

1120. Пловец проплыл по течению быстрой реки 150 м. Когда же он поплыл против течения, то за такое же время его снесло течением на 50 м ниже по течению. Во сколько раз скорость течения реки больше скорости пловца?

Для решения задачи введем обозначения: пусть $v_п$ — это собственная скорость пловца (скорость, с которой он плывет в стоячей воде), а $v_р$ — это скорость течения реки. Пусть $t$ — это время, которое пловец затратил на каждое из действий.

1. Сначала пловец плыл по течению. Его скорость относительно берега была равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по\;течению} = v_п + v_р$. За время $t$ он преодолел расстояние $S_1 = 150$ м. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составим первое уравнение:
$150 = (v_п + v_р) \cdot t$

2. Затем пловец поплыл против течения. В условии сказано, что за то же самое время $t$ его снесло течением на 50 м ниже по течению от начальной точки. Это означает, что скорость течения реки была больше, чем собственная скорость пловца ($v_р > v_п$). Его результирующая скорость относительно берега была направлена по течению и равнялась разности между скоростью течения и собственной скоростью пловца: $v_{результ.} = v_р - v_п$. За время $t$ он был снесен на расстояние $S_2 = 50$ м. Составим второе уравнение:
$50 = (v_р - v_п) \cdot t$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} 150 = (v_п + v_р) \cdot t \\ 50 = (v_р - v_п) \cdot t \end{cases}$
Чтобы найти, во сколько раз скорость течения реки больше скорости пловца, нам нужно найти отношение $\frac{v_р}{v_п}$. Для этого исключим из уравнений время $t$, разделив первое уравнение на второе:
$\frac{150}{50} = \frac{(v_п + v_р) \cdot t}{(v_р - v_п) \cdot t}$
$3 = \frac{v_р + v_п}{v_р - v_п}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_р$ и $v_п$, чтобы найти их соотношение:
$3(v_р - v_п) = v_р + v_п$
$3v_р - 3v_п = v_р + v_п$
Сгруппируем члены с $v_р$ в левой части, а члены с $v_п$ — в правой:
$3v_р - v_р = v_п + 3v_п$
$2v_р = 4v_п$
Теперь найдем искомое отношение $\frac{v_р}{v_п}$:
$\frac{v_р}{v_п} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, скорость течения реки в 2 раза больше собственной скорости пловца.
Ответ: в 2 раза.

1121. Путник вышел из пункта А в пункт В. Первую половину времени, затраченного им на переход, он шёл со скоростью 5 км/ч, а затем пошёл со скоростью 4 км/ч. Второй путник вышел из пункта А в пункт В одновременно с первым, но он половину пути шёл со скоростью 4 км/ч, а затем пошёл со скоростью 5 км/ч. Кто из путников раньше пришёл в пункт В?

Для решения этой задачи нам нужно сравнить общее время, которое каждый путник затратил на дорогу из пункта А в пункт В. Обозначим общее расстояние от А до В как $S$.

1. Расчет времени для первого путника

Первый путник первую половину времени своего пути шел со скоростью $v_1 = 5$ км/ч, а вторую половину времени — со скоростью $v_2 = 4$ км/ч.
Пусть общее время в пути для первого путника равно $T_1$. Тогда первую половину времени, $\frac{T_1}{2}$, он шел со скоростью 5 км/ч, а вторую половину, $\frac{T_1}{2}$, — со скоростью 4 км/ч.
Расстояние, пройденное за первую половину времени: $S_1 = v_1 \cdot \frac{T_1}{2} = 5 \cdot \frac{T_1}{2}$.
Расстояние, пройденное за вторую половину времени: $S_2 = v_2 \cdot \frac{T_1}{2} = 4 \cdot \frac{T_1}{2}$.
Общее расстояние $S$ равно сумме этих двух расстояний:
$S = S_1 + S_2 = 5 \frac{T_1}{2} + 4 \frac{T_1}{2} = (5+4)\frac{T_1}{2} = \frac{9}{2}T_1$.
Отсюда мы можем выразить время $T_1$ через расстояние $S$:
$T_1 = \frac{2S}{9}$.
Также можно найти среднюю скорость первого путника. Средняя скорость — это общее расстояние, деленное на общее время:
$\bar{v}_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{(v_1+v_2)/2 \cdot T_1}{T_1} = \frac{v_1+v_2}{2} = \frac{5+4}{2} = 4.5$ км/ч.

2. Расчет времени для второго путника

Второй путник первую половину пути шел со скоростью $v_2 = 4$ км/ч, а вторую половину пути — со скоростью $v_1 = 5$ км/ч.
Общее расстояние равно $S$. Первую половину пути, $\frac{S}{2}$, он шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину, $\frac{S}{2}$, — со скоростью 5 км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{4} = \frac{S}{8}$ ч.
Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{5} = \frac{S}{10}$ ч.
Общее время в пути для второго путника $T_2$ равно сумме этих двух времен:
$T_2 = t_1 + t_2 = \frac{S}{8} + \frac{S}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю (40):
$T_2 = \frac{5S}{40} + \frac{4S}{40} = \frac{9S}{40}$.
Средняя скорость второго путника:
$\bar{v}_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{S}{9S/40} = \frac{40}{9} \approx 4.44$ км/ч.

3. Сравнение времени

Теперь сравним общее время, затраченное каждым путником.
Время первого путника: $T_1 = \frac{2S}{9}$.
Время второго путника: $T_2 = \frac{9S}{40}$.
Чтобы сравнить эти два выражения, нам нужно сравнить дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{9}{40}$. Приведем их к общему знаменателю $9 \cdot 40 = 360$:
$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 40}{9 \cdot 40} = \frac{80}{360}$.
$\frac{9}{40} = \frac{9 \cdot 9}{40 \cdot 9} = \frac{81}{360}$.
Поскольку $\frac{80}{360} < \frac{81}{360}$, то и $T_1 < T_2$.
Это означает, что первый путник затратил на дорогу меньше времени, чем второй. Также можно было сравнить их средние скорости: средняя скорость первого путника $\bar{v}_1 = 4.5$ км/ч, а второго $\bar{v}_2 \approx 4.44$ км/ч. Так как $\bar{v}_1 > \bar{v}_2$, первый путник двигался в среднем быстрее и, следовательно, пришел раньше.

Ответ: Первый путник пришел в пункт В раньше.

1122. а) Велосипедист ехал из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всём участке?

б) Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, потом точно такое же время со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всём участке?

а)

Средняя скорость движения находится по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время, затраченное на этот путь.

Обозначим расстояние от пункта А до пункта В как $S$. Тогда велосипедист проехал туда и обратно, и общий путь составляет $S_{общ} = S + S = 2S$.

Время, которое велосипедист затратил на дорогу из А в В со скоростью $v_1 = 15$ км/ч, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{15}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь из В в А со скоростью $v_2 = 10$ км/ч, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{10}$ ч.

Общее время в пути равно сумме времени движения туда и обратно: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{15} + \frac{S}{10}$.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 30: $t_{общ} = \frac{2S}{30} + \frac{3S}{30} = \frac{2S + 3S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$ ч.

Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость на всём участке: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{S/6} = 2S \cdot \frac{6}{S} = 2 \cdot 6 = 12$ км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

б)

В этом случае велосипедист ехал два участка пути в течение одинаковых промежутков времени. Обозначим это время как $t$.

Общее время движения составляет $t_{общ} = t + t = 2t$.

Расстояние, пройденное за первое время $t$ со скоростью $v_1 = 15$ км/ч, равно $S_1 = v_1 \cdot t = 15t$.

Расстояние, пройденное за второе время $t$ со скоростью $v_2 = 10$ км/ч, равно $S_2 = v_2 \cdot t = 10t$.

Общий путь, пройденный велосипедистом, равен сумме этих двух расстояний: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 15t + 10t = 25t$.

Теперь найдем среднюю скорость по формуле $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$: $v_{ср} = \frac{25t}{2t} = \frac{25}{2} = 12,5$ км/ч.

Стоит отметить, что когда движение происходит в течение равных промежутков времени, средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей: $v_{ср} = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{15 + 10}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ км/ч.

Ответ: 12,5 км/ч.

1123. Лодка проплыла по реке расстояние между пристанями за 3,5 ч, а обратно — за 2,5 ч. Во время движения собственная скорость лодки была постоянна. Сколько времени заняло бы движение лодки с той же собственной скоростью на такое же расстояние по озеру?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями;
• $v_л$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде, например, в озере);
• $v_р$ — скорость течения реки.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения, и скорость равна $v_л + v_р$. Когда лодка плывет против течения, ее скорость равна $v_л - v_р$.

Поскольку движение по течению быстрее, чем против течения, на путь по течению будет затрачено меньше времени. Из условия задачи следует:

• Время движения по течению: $t_{по} = 2,5$ ч.
• Время движения против течения: $t_{против} = 3,5$ ч.

Расстояние $S$ можно выразить двумя способами, используя формулу $S = \text{скорость} \times \text{время}$:

1. По течению: $S = (v_л + v_р) \cdot 2,5$

2. Против течения: $S = (v_л - v_р) \cdot 3,5$

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$(v_л + v_р) \cdot 2,5 = (v_л - v_р) \cdot 3,5$

Раскроем скобки:

$2,5v_л + 2,5v_р = 3,5v_л - 3,5v_р$

Теперь сгруппируем слагаемые с $v_л$ в одной части уравнения, а с $v_р$ — в другой:

$2,5v_р + 3,5v_р = 3,5v_л - 2,5v_л$

$6v_р = 1v_л$ или $v_л = 6v_р$

Это означает, что собственная скорость лодки в 6 раз больше скорости течения реки.

Нам нужно найти время, которое лодка затратит на то же расстояние $S$ в озере, то есть двигаясь со своей собственной скоростью $v_л$. Обозначим это время как $t_{озеро}$.

$t_{озеро} = \frac{S}{v_л}$

Чтобы найти это время, выразим расстояние $S$ через одну из скоростей, например, через $v_р$, используя найденное соотношение $v_л = 6v_р$. Подставим его в первое уравнение для расстояния:

$S = (v_л + v_р) \cdot 2,5 = (6v_р + v_р) \cdot 2,5 = 7v_р \cdot 2,5 = 17,5v_р$

Теперь мы можем найти $t_{озеро}$:

$t_{озеро} = \frac{S}{v_л} = \frac{17,5v_р}{6v_р}$

Скорость течения $v_р$ сокращается, и мы получаем числовое значение:

$t_{озеро} = \frac{17,5}{6} = \frac{35/2}{6} = \frac{35}{12}$ часа.

Для удобства переведем это время в часы и минуты:

$\frac{35}{12} \text{ ч} = 2 \frac{11}{12} \text{ ч}$

Поскольку в одном часе 60 минут, то $\frac{11}{12}$ часа составляют:

$\frac{11}{12} \cdot 60 = 11 \cdot 5 = 55$ минут.

Таким образом, время движения по озеру составит 2 часа 55 минут.

Ответ: Движение лодки по озеру заняло бы $\frac{35}{12}$ часа, или 2 часа 55 минут.

1124. Вертолёт пролетел расстояние от пункта A до пункта B за 66 мин, а обратно — за 55 мин. За сколько минут он пролетел бы расстояние от пункта A до пункта B и обратно в безветренную погоду, если скорость вертолёта, скорость ветра и его направление постоянны?

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пунктами A и B.
• $v_h$ — собственная скорость вертолёта (в безветренную погоду).
• $v_w$ — скорость ветра.
• $t_1 = 66$ мин — время полёта из A в B.
• $t_2 = 55$ мин — время полёта из B в A.

Поскольку время полёта туда и обратно разное, а скорость ветра и его направление постоянны, это значит, что в одном направлении ветер был попутным (увеличивая скорость), а в другом — встречным (уменьшая скорость).

Поскольку полёт за 55 минут быстрее, чем за 66 минут, можно сделать вывод, что на пути из B в A ветер был попутным, а на пути из A в B — встречным.
Скорость вертолёта по направлению из A в B (против ветра): $v_{AB} = v_h - v_w$.
Скорость вертолёта по направлению из B в A (по ветру): $v_{BA} = v_h + v_w$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим систему уравнений:
$S = (v_h - v_w) \cdot t_1 = (v_h - v_w) \cdot 66$
$S = (v_h + v_w) \cdot t_2 = (v_h + v_w) \cdot 55$

Так как расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, приравняем правые части уравнений:
$66 \cdot (v_h - v_w) = 55 \cdot (v_h + v_w)$

Раскроем скобки и выразим скорость вертолёта через скорость ветра:
$66v_h - 66v_w = 55v_h + 55v_w$
$66v_h - 55v_h = 55v_w + 66v_w$
$11v_h = 121v_w$
$v_h = \frac{121}{11}v_w$
$v_h = 11v_w$

Теперь найдём время, которое потребовалось бы вертолёту на полёт в одну сторону (например, из A в B) в безветренную погоду. Обозначим это время как $t_{calm}$. В безветренную погоду скорость вертолёта равна его собственной скорости $v_h$.
$t_{calm} = \frac{S}{v_h}$

Чтобы найти $t_{calm}$, выразим расстояние $S$ через $v_h$. Для этого подставим $v_w = \frac{v_h}{11}$ в одно из первоначальных уравнений для $S$:
$S = 55 \cdot (v_h + v_w) = 55 \cdot (v_h + \frac{v_h}{11}) = 55 \cdot (\frac{11v_h + v_h}{11}) = 55 \cdot \frac{12v_h}{11} = 5 \cdot 12v_h = 60v_h$

Теперь можем рассчитать время полёта в одну сторону в безветренную погоду:
$t_{calm} = \frac{S}{v_h} = \frac{60v_h}{v_h} = 60$ минут.

В задаче требуется найти общее время полёта из A в B и обратно в безветренную погоду. Так как в безветренную погоду время полёта в обе стороны одинаково, общее время будет вдвое больше времени полёта в одну сторону.
$T_{total} = t_{calm} + t_{calm} = 60 + 60 = 120$ минут.

Ответ: 120 минут.

1125. Скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости пешехода. Они одновременно отправились из двух городов навстречу друг другу. Во сколько раз больше времени после встречи будет в пути пешеход, чем велосипедист?

Для решения задачи обозначим скорость пешехода как $v_п$, а скорость велосипедиста как $v_в$. Из условия известно, что скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости пешехода, следовательно: $v_в = 3 \cdot v_п$

Пусть пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу и встречаются через время $t$ после начала своего пути.

До момента встречи пешеход пройдет расстояние $S_п$, равное: $S_п = v_п \cdot t$

За это же время велосипедист проедет расстояние $S_в$, равное: $S_в = v_в \cdot t = (3 \cdot v_п) \cdot t = 3 \cdot v_п \cdot t$

После встречи пешеходу предстоит пройти путь, который до этого проехал велосипедист, то есть $S_в$. Время, которое пешеход потратит на этот оставшийся участок пути ($t_{п, после}$), вычисляется так: $t_{п, после} = \frac{S_в}{v_п} = \frac{3 \cdot v_п \cdot t}{v_п} = 3t$

В то же время, велосипедисту после встречи предстоит проехать путь, который до этого прошел пешеход, то есть $S_п$. Время, которое велосипедист потратит на свой оставшийся путь ($t_{в, после}$), вычисляется так: $t_{в, после} = \frac{S_п}{v_в} = \frac{v_п \cdot t}{3 \cdot v_п} = \frac{t}{3}$

Чтобы найти, во сколько раз больше времени после встречи будет в пути пешеход, чем велосипедист, необходимо найти отношение их времени в пути после встречи: $\frac{t_{п, после}}{t_{в, после}} = \frac{3t}{\frac{t}{3}} = 3t \cdot \frac{3}{t} = 9$

Таким образом, время, которое пешеход проведет в пути после встречи, в 9 раз больше времени, которое проведет в пути велосипедист.

Ответ: в 9 раз.

1126. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли каждая чужого города: первая — в 4 ч пополудни, а вторая — в 9 ч. Узнайте, когда они вышли из своих городов.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:
Пусть $v_1$ — скорость первой старушки, а $v_2$ — скорость второй старушки.
Пусть $t$ — время в часах, которое они шли от момента выхода до встречи.
Пусть $S_1$ — расстояние, которое прошла первая старушка до встречи, а $S_2$ — расстояние, которое прошла вторая старушка до встречи.

Согласно условию, старушки встретились в полдень (12:00). До момента встречи они обе находились в пути одинаковое время $t$. Таким образом, можно записать:
$S_1 = v_1 \cdot t$
$S_2 = v_2 \cdot t$

После встречи первая старушка достигла конечного пункта в 4 часа пополудни (16:00). Время ее пути после встречи составило $16:00 - 12:00 = 4$ часа. За это время она прошла расстояние $S_2$, которое до встречи прошла вторая старушка.
$S_2 = v_1 \cdot 4$

Вторая старушка после встречи достигла своего города в 9 часов вечера (21:00). Время ее пути после встречи составило $21:00 - 12:00 = 9$ часов. За это время она прошла расстояние $S_1$, которое до встречи прошла первая старушка.
$S_1 = v_2 \cdot 9$

Теперь мы имеем систему уравнений. Сопоставим выражения для расстояний.
Из уравнений для $S_1$ ($S_1 = v_1 \cdot t$ и $S_1 = v_2 \cdot 9$) получаем:
$v_1 \cdot t = v_2 \cdot 9 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{t}$

Из уравнений для $S_2$ ($S_2 = v_2 \cdot t$ и $S_2 = v_1 \cdot 4$) получаем:
$v_2 \cdot t = v_1 \cdot 4 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{4}$

Поскольку левые части обоих полученных равенств одинаковы (это отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$), мы можем приравнять их правые части:
$\frac{9}{t} = \frac{t}{4}$

Решим это уравнение относительно $t$:
$t^2 = 9 \cdot 4$
$t^2 = 36$
Поскольку время не может быть отрицательным, берем положительный корень: $t = 6$ часов.

Итак, время в пути до встречи составило 6 часов. Старушки встретились в полдень (12:00), значит, они вышли из своих городов за 6 часов до этого момента.
Время выхода: 12:00 - 6 часов = 6:00.

Ответ: Старушки вышли из своих городов в 6 часов утра.

1127. На дороге, соединяющей два горных селения, нет ровных участков. Автобус едет в гору всегда со скоростью $30\text{ км/ч}$, а под гору со скоростью $60\text{ км/ч}$. Найдите расстояние между горными селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает ровно $2\text{ ч}$.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $S$ – искомое расстояние между горными селениями в километрах. Скорость автобуса при движении в гору составляет $v_{в гору} = 30$ км/ч, а при движении под гору – $v_{под гору} = 60$ км/ч. Общее время, затраченное на путь туда и обратно, равно $T = 2$ часа.

Дорога между селениями состоит только из подъемов и спусков. Когда автобус едет из первого селения во второе, он преодолевает некоторое расстояние в гору и некоторое расстояние под гору. На обратном пути те участки, которые были подъемами, становятся спусками, а те, что были спусками, — подъемами. Это означает, что за весь путь "туда и обратно" автобус суммарно проезжает расстояние $S$ в гору и такое же суммарное расстояние $S$ под гору.

Время, которое автобус тратит на преодоление всех подъемов за всю поездку, можно рассчитать по формуле времени $t = \frac{расстояние}{скорость}$:

$t_{подъем} = \frac{S}{v_{в гору}} = \frac{S}{30}$ ч

Аналогично, время, затраченное на все спуски за всю поездку, составляет:

$t_{спуск} = \frac{S}{v_{под гору}} = \frac{S}{60}$ ч

Общее время в пути $T$ является суммой времени, затраченного на все подъемы и все спуски:

$T = t_{подъем} + t_{спуск}$

Подставим известные значения в эту формулу и составим уравнение:

$2 = \frac{S}{30} + \frac{S}{60}$

Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 30 и 60 равен 60. Домножим первую дробь на 2:

$2 = \frac{2S}{60} + \frac{S}{60}$

Теперь сложим дроби в правой части уравнения:

$2 = \frac{2S + S}{60}$

$2 = \frac{3S}{60}$

Сократим дробь в правой части, разделив числитель и знаменатель на 3:

$2 = \frac{S}{20}$

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на 20:

$S = 2 \cdot 20$

$S = 40$

Таким образом, расстояние между горными селениями составляет 40 км.

Ответ: 40 км.