Номер 1124, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1124, страница 267.

Условие.

1124. Вертолёт пролетел расстояние от пункта A до пункта B за 66 мин, а обратно — за 55 мин. За сколько минут он пролетел бы расстояние от пункта A до пункта B и обратно в безветренную погоду, если скорость вертолёта, скорость ветра и его направление постоянны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пунктами A и B.
• $v_h$ — собственная скорость вертолёта (в безветренную погоду).
• $v_w$ — скорость ветра.
• $t_1 = 66$ мин — время полёта из A в B.
• $t_2 = 55$ мин — время полёта из B в A.

Поскольку время полёта туда и обратно разное, а скорость ветра и его направление постоянны, это значит, что в одном направлении ветер был попутным (увеличивая скорость), а в другом — встречным (уменьшая скорость).

Поскольку полёт за 55 минут быстрее, чем за 66 минут, можно сделать вывод, что на пути из B в A ветер был попутным, а на пути из A в B — встречным.
Скорость вертолёта по направлению из A в B (против ветра): $v_{AB} = v_h - v_w$.
Скорость вертолёта по направлению из B в A (по ветру): $v_{BA} = v_h + v_w$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим систему уравнений:
$S = (v_h - v_w) \cdot t_1 = (v_h - v_w) \cdot 66$
$S = (v_h + v_w) \cdot t_2 = (v_h + v_w) \cdot 55$

Так как расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, приравняем правые части уравнений:
$66 \cdot (v_h - v_w) = 55 \cdot (v_h + v_w)$

Раскроем скобки и выразим скорость вертолёта через скорость ветра:
$66v_h - 66v_w = 55v_h + 55v_w$
$66v_h - 55v_h = 55v_w + 66v_w$
$11v_h = 121v_w$
$v_h = \frac{121}{11}v_w$
$v_h = 11v_w$

Теперь найдём время, которое потребовалось бы вертолёту на полёт в одну сторону (например, из A в B) в безветренную погоду. Обозначим это время как $t_{calm}$. В безветренную погоду скорость вертолёта равна его собственной скорости $v_h$.
$t_{calm} = \frac{S}{v_h}$

Чтобы найти $t_{calm}$, выразим расстояние $S$ через $v_h$. Для этого подставим $v_w = \frac{v_h}{11}$ в одно из первоначальных уравнений для $S$:
$S = 55 \cdot (v_h + v_w) = 55 \cdot (v_h + \frac{v_h}{11}) = 55 \cdot (\frac{11v_h + v_h}{11}) = 55 \cdot \frac{12v_h}{11} = 5 \cdot 12v_h = 60v_h$

Теперь можем рассчитать время полёта в одну сторону в безветренную погоду:
$t_{calm} = \frac{S}{v_h} = \frac{60v_h}{v_h} = 60$ минут.

В задаче требуется найти общее время полёта из A в B и обратно в безветренную погоду. Так как в безветренную погоду время полёта в обе стороны одинаково, общее время будет вдвое больше времени полёта в одну сторону.
$T_{total} = t_{calm} + t_{calm} = 60 + 60 = 120$ минут.

Ответ: 120 минут.