Номер 1129, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1129, страница 268.

Условие.

1129. У мальчика было 75 р. пяти- и десятирублёвыми монетами. Если бы пятирублёвых монет было столько, сколько десятирублёвых, а десятирублёвых — столько, сколько пятирублёвых, то всего у него оказалось бы 90 р. Сколько было у мальчика в отдельности пяти- и десятирублёвых монет?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи введём переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество пятирублёвых монет, а $y$ — первоначальное количество десятирублёвых монет.

По первому условию, общая сумма денег у мальчика была 75 рублей. Это можно выразить следующим уравнением:
$5x + 10y = 75$

По второму условию, если бы количество пятирублёвых монет стало равно $y$, а количество десятирублёвых — $x$, то общая сумма составила бы 90 рублей. Это даёт нам второе уравнение:
$5y + 10x = 90$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 10y = 75 \\ 10x + 5y = 90 \end{cases} $$

Для упрощения разделим обе части первого уравнения на 5, а второго — на 5:

$$ \begin{cases} x + 2y = 15 \\ 2x + y = 18 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 15 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(15 - 2y) + y = 18$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$30 - 4y + y = 18$
$30 - 3y = 18$
$3y = 30 - 18$
$3y = 12$
$y = 4$

Итак, у мальчика было 4 десятирублёвых монеты. Теперь найдём количество пятирублёвых монет, подставив значение $y=4$ в выражение для $x$:
$x = 15 - 2 \cdot 4 = 15 - 8 = 7$

Таким образом, у мальчика было 7 пятирублёвых монет.

Проверим найденные значения.
Первоначальная сумма: $7 \cdot 5 \, \text{р.} + 4 \cdot 10 \, \text{р.} = 35 + 40 = 75 \, \text{р.}$
Сумма после гипотетического обмена: $4 \cdot 5 \, \text{р.} + 7 \cdot 10 \, \text{р.} = 20 + 70 = 90 \, \text{р.}$
Оба условия задачи выполняются.

Ответ: у мальчика было 7 пятирублёвых и 4 десятирублёвых монеты.