Номер 2, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 2, страница 269.

Условие.

2. Из бочки, содержащей 100 л сока, отливают 1 л сока и вливают в неё 1 л воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 л смеси и опять вливают в неё 1 л воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 л сока?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи давайте проанализируем, как изменяется количество сока в бочке после каждой операции. Пусть $V_n$ — это объем сока (в литрах) в бочке после $n$-ой операции. Изначально в бочке 100 литров сока, то есть $V_0 = 100$. Общий объем жидкости в бочке всегда остается равным 100 л.

После первой операции из бочки отливают 1 л чистого сока. В бочке остается $100 - 1 = 99$ л сока. Затем вливают 1 л воды. Таким образом, объем сока в бочке составляет $V_1 = 99$ л.

Перед второй операцией в бочке находится 100 л смеси, из которых 99 л — это сок. Концентрация сока в смеси составляет $\frac{99}{100}$. Когда из бочки отливают 1 л смеси, количество отлитого сока равно $1 \text{ л} \times \frac{99}{100} = 0.99$ л. Количество сока, оставшегося в бочке, будет $V_2 = 99 - 0.99 = 98.01$ л.

Можно заметить общую закономерность. Если после $(n-1)$-ой операции в бочке было $V_{n-1}$ литров сока, то его концентрация составляла $\frac{V_{n-1}}{100}$. На $n$-ом шаге отливают 1 л смеси, то есть $\frac{V_{n-1}}{100}$ литров сока. Новый объем сока $V_n$ будет равен: $V_n = V_{n-1} - \frac{V_{n-1}}{100} = V_{n-1} \left(1 - \frac{1}{100}\right) = V_{n-1} \cdot \frac{99}{100}$.

Мы получили рекуррентную формулу для геометрической прогрессии. Зная начальный объем $V_0 = 100$, мы можем записать явную формулу для объема сока после $n$ операций: $V_n = V_0 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^n = 100 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^n$.

Теперь ответим на главный вопрос: существует ли такое целое число операций $n$, при котором объем сока станет равен 50 л? Для этого проверим, имеет ли целое решение уравнение: $V_n = 50$ $100 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^n = 50$

Разделим обе части уравнения на 100: $\left(\frac{99}{100}\right)^n = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от дробей: $99^n = \frac{1}{2} \cdot 100^n$ $2 \cdot 99^n = 100^n$

Докажем, что это равенство невозможно для целого $n \ge 1$, используя разложение на простые множители.
Левая часть: $2 \cdot 99^n = 2 \cdot (3^2 \cdot 11)^n = 2^1 \cdot 3^{2n} \cdot 11^n$. Простые множители: 2, 3, 11.
Правая часть: $100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$. Простые множители: 2, 5.

Согласно основной теореме арифметики, разложение любого натурального числа на простые множители единственно. Чтобы равенство выполнялось, наборы простых множителей в обеих частях должны быть идентичны. Однако в разложении левой части есть множители 3 и 11, которых нет в правой. А в правой части есть множитель 5, которого нет в левой. Это противоречие означает, что равенство не может быть верным ни для какого натурального числа $n$.

Ответ: Нет, в результате таких операций невозможно получить смесь, содержащую ровно 50 л сока.