Номер 9, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 9, страница 270.

Условие.

9. Из ЕГЭ. Найдутся ли хотя бы три десятизначных натуральных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 11. Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечётных позициях (считая справа налево, или слева направо, что эквивалентно для знака разности), и суммой цифр, стоящих на чётных позициях, делится на 11.

Пусть наше десятизначное число $N = d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8 d_9 d_{10}$, где $d_i$ — это его цифры. По условию, это число натуральное, значит $d_1 \neq 0$. Также по условию, в записи числа использованы все цифры от 0 до 9, то есть набор цифр $\{d_1, d_2, ..., d_{10}\}$ является перестановкой множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Обозначим сумму цифр на нечётных позициях как $S_{нечет}$ и сумму цифр на чётных позициях как $S_{чет}$:
$S_{нечет} = d_1 + d_3 + d_5 + d_7 + d_9$
$S_{чет} = d_2 + d_4 + d_6 + d_8 + d_{10}$

Согласно признаку делимости на 11, разность $S_{нечет} - S_{чет}$ должна быть кратна 11. То есть, $S_{нечет} - S_{чет} = 11k$ для некоторого целого числа $k$.

Сумма всех цифр числа $N$ постоянна и равна сумме всех цифр от 0 до 9:
$S_{общ} = S_{нечет} + S_{чет} = 0 + 1 + 2 + ... + 9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $S_{нечет} - S_{чет} = 11k$
2) $S_{нечет} + S_{чет} = 45$

Сложим эти два уравнения:
$2S_{нечет} = 45 + 11k$

Поскольку $S_{нечет}$ — это сумма целых чисел, $2S_{нечет}$ должно быть чётным числом. Следовательно, выражение $45 + 11k$ также должно быть чётным. Так как 45 — нечётное число, $11k$ должно быть нечётным, что возможно только если $k$ — нечётное целое число.

Оценим возможные значения для $S_{нечет}$. $S_{нечет}$ — это сумма пяти различных цифр из множества $\{0, 1, ..., 9\}$.
Минимальное возможное значение $S_{нечет} = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Максимальное возможное значение $S_{нечет} = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35$.

Подставим эти ограничения в уравнение $2S_{нечет} = 45 + 11k$:
$2 \cdot 10 \le 45 + 11k \le 2 \cdot 35$
$20 \le 45 + 11k \le 70$
$20 - 45 \le 11k \le 70 - 45$
$-25 \le 11k \le 25$
$-\frac{25}{11} \le k \le \frac{25}{11}$
$-2.27... \le k \le 2.27...$

Учитывая, что $k$ должно быть нечётным целым числом, возможными значениями для $k$ являются $k=1$ и $k=-1$.

Случай 1: $k=1$
$2S_{нечет} = 45 + 11 \cdot 1 = 56 \implies S_{нечет} = 28$.
Тогда $S_{чет} = 45 - S_{нечет} = 45 - 28 = 17$.Нам нужно найти разбиение множества цифр $\{0, 1, ..., 9\}$ на два подмножества из пяти цифр каждое: одно с суммой 28 (для нечётных позиций), другое с суммой 17 (для чётных позиций).Такое разбиение существует. Например, возьмём для нечётных позиций цифры $\{9, 8, 7, 3, 1\}$. Их сумма $9+8+7+3+1 = 28$. Тогда для чётных позиций остаются цифры $\{0, 2, 4, 5, 6\}$, их сумма $0+2+4+5+6 = 17$.Поскольку 0 находится в множестве цифр для чётных позиций, первая цифра числа ($d_1$) не может быть нулём, так как она берётся из множества для нечётных позиций.Количество возможных чисел, которые можно составить из этих наборов цифр, очень велико. Число перестановок в каждой группе равно $5! = 120$. Общее число комбинаций равно $5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$. Все эти числа будут делиться на 11.

Приведём три примера таких чисел:
1. Расположим цифры для нечётных позиций $\{9, 8, 7, 3, 1\}$ и для чётных $\{6, 5, 4, 2, 0\}$ в порядке убывания.
$N_1 = 9685743210$. Проверка: $(9+8+7+3+1) - (6+5+4+2+0) = 28 - 17 = 11$. $11$ делится на 11.
2. Поменяем местами две цифры в чётной группе, например, 6 и 5.
$N_2 = 9586743210$. Проверка: $(9+8+7+3+1) - (5+6+4+2+0) = 28 - 17 = 11$.
3. Поменяем местами две цифры в нечётной группе, например, 9 и 8.
$N_3 = 8695743210$. Проверка: $(8+9+7+3+1) - (6+5+4+2+0) = 28 - 17 = 11$.

Случай 2: $k=-1$
$2S_{нечет} = 45 + 11 \cdot (-1) = 34 \implies S_{нечет} = 17$.
Тогда $S_{чет} = 45 - S_{нечет} = 45 - 17 = 28$.Этот случай симметричен предыдущему: множества цифр для нечётных и чётных позиций меняются местами. Теперь цифры с суммой 17 (например, $\{0, 2, 4, 5, 6\}$) должны стоять на нечётных позициях, а цифры с суммой 28 (например, $\{1, 3, 7, 8, 9\}$) — на чётных.В этом случае цифра 0 попадает в группу для нечётных позиций. Поэтому при составлении числа нужно следить, чтобы 0 не оказался на первой позиции ($d_1$).Например, возьмем число $N_4 = 2143675809$.
$S_{нечет} = 2+4+6+5+0 = 17$.
$S_{чет} = 1+3+7+8+9 = 28$.
$S_{нечет} - S_{чет} = 17 - 28 = -11$. $-11$ делится на 11.Число различных вариантов здесь также велико (всего $4 \times 4! \times 5! = 11520$ чисел), так что и в этом случае можно найти три и более числа.

Поскольку мы смогли не только доказать существование таких чисел, но и привести конкретные примеры, ответ на вопрос задачи положительный.

Ответ: да, найдутся.