Номер 13, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 13, страница 270.

Условие.

13. Отличное от нуля число увеличили на $p\%$, полученный результат уменьшили на $q\%$. В результате снова получили первое число. Найдите все пары натуральных чисел $(p; q)$, удовлетворяющие условию задачи.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Пусть исходное отличное от нуля число равно $x$. По условию задачи, это число сначала увеличивают на $p\%$, а затем полученный результат уменьшают на $q\%$. В итоге снова получается исходное число $x$. Числа $p$ и $q$ являются натуральными.

1. Увеличение числа $x$ на $p\%$ означает, что новое число $x_1$ равно:$x_1 = x + \frac{p}{100}x = x\left(1 + \frac{p}{100}\right)$

2. Уменьшение полученного числа $x_1$ на $q\%$ означает, что итоговое число $x_2$ равно:$x_2 = x_1 - \frac{q}{100}x_1 = x_1\left(1 - \frac{q}{100}\right)$

Подставим выражение для $x_1$ в формулу для $x_2$:$x_2 = x\left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{q}{100}\right)$

3. По условию, итоговое число равно исходному: $x_2 = x$.$x\left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{q}{100}\right) = x$

Поскольку $x$ – отличное от нуля число ($x \ne 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $x$:$\left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{q}{100}\right) = 1$

Преобразуем это уравнение:$\frac{100+p}{100} \cdot \frac{100-q}{100} = 1$$(100+p)(100-q) = 10000$

4. Нам нужно найти все пары натуральных чисел $(p; q)$.Поскольку $p$ и $q$ – натуральные числа, $p \ge 1$ и $q \ge 1$.Из этого следует, что множитель $(100+p)$ является целым числом, и $100+p \ge 101$.Так как произведение $(100+p)(100-q)$ положительно и равно 10000, а $(100+p)$ положительно, то и множитель $(100-q)$ должен быть положительным:$100-q > 0 \implies q < 100$.С учетом того, что $q$ – натуральное число, получаем, что $1 \le q \le 99$.

5. Выразим $p$ через $q$ из полученного уравнения:$100+p = \frac{10000}{100-q}$$p = \frac{10000}{100-q} - 100$

Чтобы $p$ было натуральным числом, выражение $\frac{10000}{100-q}$ должно быть целым числом, и $p$ должно быть больше или равно 1. Это означает, что $(100-q)$ должно быть делителем числа 10000.Обозначим $k = 100-q$. Из условия $1 \le q \le 99$ следует, что $1 \le k \le 99$.Таким образом, нам нужно найти все делители числа 10000, которые находятся в диапазоне от 1 до 99 включительно.

6. Найдем делители числа 10000.Простое разложение числа 10000: $10000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.Делители $k$ имеют вид $2^a \cdot 5^b$, где $0 \le a \le 4$ и $0 \le b \le 4$.Выпишем все такие делители $k$, удовлетворяющие условию $1 \le k \le 99$:

• При $b=0$: $1, 2, 4, 8, 16$.
• При $b=1$: $5, 10, 20, 40, 80$.
• При $b=2$: $25, 50$. (Следующий $25 \cdot 4 = 100$ уже не подходит).

Итак, возможные значения для $k = 100-q$ это: $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80$.

7. Для каждого значения $k$ найдем соответствующую пару $(p; q)$, где $q = 100-k$ и $p = \frac{10000}{k} - 100$:

• $k=1 \implies q=99, p=10000-100=9900$. Пара $(9900, 99)$.
• $k=2 \implies q=98, p=5000-100=4900$. Пара $(4900, 98)$.
• $k=4 \implies q=96, p=2500-100=2400$. Пара $(2400, 96)$.
• $k=5 \implies q=95, p=2000-100=1900$. Пара $(1900, 95)$.
• $k=8 \implies q=92, p=1250-100=1150$. Пара $(1150, 92)$.
• $k=10 \implies q=90, p=1000-100=900$. Пара $(900, 90)$.
• $k=16 \implies q=84, p=625-100=525$. Пара $(525, 84)$.
• $k=20 \implies q=80, p=500-100=400$. Пара $(400, 80)$.
• $k=25 \implies q=75, p=400-100=300$. Пара $(300, 75)$.
• $k=40 \implies q=60, p=250-100=150$. Пара $(150, 60)$.
• $k=50 \implies q=50, p=200-100=100$. Пара $(100, 50)$.
• $k=80 \implies q=20, p=125-100=25$. Пара $(25, 20)$.

Все найденные значения $p$ и $q$ являются натуральными числами, следовательно, все 12 пар являются решениями.

Ответ: (9900, 99), (4900, 98), (2400, 96), (1900, 95), (1150, 92), (900, 90), (525, 84), (400, 80), (300, 75), (150, 60), (100, 50), (25, 20).