Номер 7, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 7, страница 269.

Условие.

7. Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, удовлетворяющие уравнению $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{12}$, если одно из чисел чётное, а другое нечётное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Дано уравнение $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{12} $, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причем одно из них четное, а другое нечетное.

Преобразуем исходное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{m+n}{mn} = \frac{1}{12} $

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$ 12(m+n) = mn $

Перенесем все члены в одну сторону и преобразуем уравнение, чтобы его можно было разложить на множители:

$ mn - 12m - 12n = 0 $

Для применения метода группировки прибавим к обеим частям уравнения $144$:

$ mn - 12m - 12n + 144 = 144 $

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ m(n-12) - 12(n-12) = 144 $

$ (m-12)(n-12) = 144 $

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, $ \frac{1}{m} > 0 $ и $ \frac{1}{n} > 0 $. Из исходного уравнения $ \frac{1}{m} < \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{n} < \frac{1}{12} $. Отсюда следует, что $ m > 12 $ и $ n > 12 $.

Таким образом, множители $ (m-12) $ и $ (n-12) $ являются натуральными числами, и их произведение равно 144.

По условию задачи, одно из чисел ($m$ или $n$) — четное, а другое — нечетное.

Рассмотрим четность множителей $m-12$ и $n-12$. Поскольку 12 — четное число, то:

- если $m$ четное, то $m-12$ четное;

- если $m$ нечетное, то $m-12$ нечетное.

Аналогично для $n$ и $n-12$. Следовательно, из условия задачи вытекает, что один из множителей ($m-12$ или $n-12$) должен быть четным, а другой — нечетным.

Разложим число 144 на простые множители: $ 144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2 $.

Чтобы произведение двух натуральных чисел было равно 144, и при этом один множитель был нечетным, а другой четным, нечетный множитель должен состоять только из нечетных простых делителей числа 144, а четный — должен содержать все множители 2.

Нечетные делители числа 144 — это делители числа $3^2=9$. Такими делителями являются 1, 3, 9.

Рассмотрим все возможные пары множителей (один нечетный, другой четный), произведение которых равно 144.

1. Пусть один множитель равен 1. Тогда второй равен $144/1 = 144$. Это дает нам две пары для $ (m-12, n-12) $: (1, 144) и (144, 1).

- Если $m-12=1$ и $n-12=144$, то $m=13$ (нечетное) и $n=156$ (четное).

- Если $m-12=144$ и $n-12=1$, то $m=156$ (четное) и $n=13$ (нечетное).

Получаем пары решений: (13, 156) и (156, 13).

2. Пусть один множитель равен 3. Тогда второй равен $144/3 = 48$. Это дает нам две пары для $ (m-12, n-12) $: (3, 48) и (48, 3).

- Если $m-12=3$ и $n-12=48$, то $m=15$ (нечетное) и $n=60$ (четное).

- Если $m-12=48$ и $n-12=3$, то $m=60$ (четное) и $n=15$ (нечетное).

Получаем пары решений: (15, 60) и (60, 15).

3. Пусть один множитель равен 9. Тогда второй равен $144/9 = 16$. Это дает нам две пары для $ (m-12, n-12) $: (9, 16) и (16, 9).

- Если $m-12=9$ и $n-12=16$, то $m=21$ (нечетное) и $n=28$ (четное).

- Если $m-12=16$ и $n-12=9$, то $m=28$ (четное) и $n=21$ (нечетное).

Получаем пары решений: (21, 28) и (28, 21).

Других нечетных делителей у числа 144 нет, следовательно, мы нашли все возможные решения.

Ответ: (13, 156), (156, 13), (15, 60), (60, 15), (21, 28), (28, 21).