Номер 5, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 5, страница 269.

Условие.

5. Из ЕГЭ.

Сколькими различными способами, не учитывая порядка слагаемых, можно представить дробь $\frac{1}{25}$ в виде суммы двух различных аликвотных дробей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Пусть искомые различные аликвотные дроби (дроби вида $1/n$) равны $1/x$ и $1/y$, где $x$ и $y$ — различные натуральные числа ($x \ne y$). По условию, их сумма равна $1/25$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{25}$

Поскольку в задаче указано не учитывать порядок слагаемых, пара решений $(x, y)$ и $(y, x)$ считается за один способ. Для определенности будем считать, что $x < y$.

Преобразуем исходное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{25}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$25(x+y) = xy$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$xy - 25x - 25y = 0$

Для того чтобы разложить левую часть на множители, прибавим к обеим частям уравнения число $25 \cdot 25 = 625$:

$xy - 25x - 25y + 625 = 625$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$x(y - 25) - 25(y - 25) = 625$

$(x - 25)(y - 25) = 625$

Так как $x$ и $y$ являются натуральными числами, то множители $(x - 25)$ и $(y - 25)$ должны быть целыми числами. Из исходного равенства $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{25}$ и того факта, что $x$ и $y$ — натуральные, следует, что $\frac{1}{x} < \frac{1}{25}$ и $\frac{1}{y} < \frac{1}{25}$. Это означает, что $x > 25$ и $y > 25$.

Следовательно, $(x - 25)$ и $(y - 25)$ являются натуральными числами, произведение которых равно 625. Нам нужно найти все пары таких натуральных чисел.

Найдем все натуральные делители числа 625. Так как $625 = 5^4$, его делителями являются числа 1, 5, 25, 125, 625.

Пусть $A = x - 25$ и $B = y - 25$. Тогда $A \cdot B = 625$. Из нашего предположения $x < y$ следует, что $x - 25 < y - 25$, то есть $A < B$. Найдем все пары натуральных делителей $(A, B)$ числа 625, для которых выполняется это условие:

• Пара 1: $A = 1, B = 625$.
  Тогда $x = A + 25 = 1 + 25 = 26$, а $y = B + 25 = 625 + 25 = 650$.
  Получаем первое решение: $\frac{1}{26} + \frac{1}{650} = \frac{1}{25}$.
• Пара 2: $A = 5, B = 125$.
  Тогда $x = A + 25 = 5 + 25 = 30$, а $y = B + 25 = 125 + 25 = 150$.
  Получаем второе решение: $\frac{1}{30} + \frac{1}{150} = \frac{1}{25}$.

Следующая возможная пара делителей — $A = 25, B = 25$. Однако в этом случае $A = B$, что привело бы к $x = y = 50$. Это противоречит условию, что аликвотные дроби должны быть различными. Других пар делителей с условием $A < B$ нет.

Таким образом, существует ровно два различных способа представить дробь $\frac{1}{25}$ в виде суммы двух различных аликвотных дробей.

Ответ: 2