Номер 8, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 8, страница 269.

Условие.

8. Учитель хочет составить несколько вариантов задачи на совместную работу: «Первая бригада может выполнить задание за $a$ дней, а вторая — за $b$ дней. За сколько дней они выполнят это задание при совместной работе?» При этом он хочет, чтобы в каждом варианте был один и тот же ответ — «за 24 дня». Сколько различных вариантов задачи он может составить, если $a > b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Пусть вся работа равна 1. Тогда производительность первой бригады равна $P_1 = 1/a$ (часть работы в день), а производительность второй бригады — $P_2 = 1/b$ (часть работы в день).

При совместной работе их производительности складываются, и общая производительность составляет $P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/a + 1/b$.

Время $t$, необходимое для выполнения всей работы совместно, определяется по формуле $t = 1 / P_{общ}$. По условию задачи, это время равно 24 дням. Таким образом, мы получаем уравнение:

$24 = \frac{1}{1/a + 1/b}$

Преобразуем это уравнение:

$\frac{1}{24} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{24} = \frac{a+b}{ab}$

Отсюда следует:

$ab = 24(a+b)$

$ab - 24a - 24b = 0$

Для решения этого уравнения в целых числах применим метод разложения на множители. Прибавим к обеим частям уравнения $24 \cdot 24 = 576$:

$ab - 24a - 24b + 576 = 576$

Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:

$a(b - 24) - 24(b - 24) = 576$

$(a - 24)(b - 24) = 576$

Поскольку $a$ и $b$ — это количество дней, они должны быть натуральными числами. Из уравнения $\frac{1}{24} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ следует, что $\frac{1}{a} < \frac{1}{24}$ и $\frac{1}{b} < \frac{1}{24}$, так как оба слагаемых положительны. Это означает, что $a > 24$ и $b > 24$.

Следовательно, множители $(a - 24)$ и $(b - 24)$ являются натуральными числами. Наша задача свелась к тому, чтобы найти все пары натуральных чисел, произведение которых равно 576.

Также в условии сказано, что $a > b$. Это означает, что $a - 24 > b - 24$.

Таким образом, нам нужно найти количество пар делителей числа 576, таких что один делитель больше другого. Найдем все делители числа 576. Для этого разложим его на простые множители:

$576 = 24^2 = (8 \cdot 3)^2 = (2^3 \cdot 3)^2 = 2^6 \cdot 3^2$

Количество всех натуральных делителей числа 576 равно $(6+1)(2+1) = 7 \cdot 3 = 21$.

Эти 21 делитель можно разбить на пары, произведение в которых дает 576. Один из делителей — это $\sqrt{576} = 24$. Он образует пару сам с собой: $24 \cdot 24 = 576$. В этом случае мы бы получили $a - 24 = 24$ и $b - 24 = 24$, что дает $a = 48$ и $b = 48$. Этот вариант не удовлетворяет строгому неравенству $a > b$.

Оставшиеся $21 - 1 = 20$ делителей образуют $20 / 2 = 10$ пар. В каждой такой паре один множитель будет меньше другого. Если мы положим $a - 24$ равным большему множителю, а $b - 24$ — меньшему, то условие $a > b$ будет выполнено автоматически.

Каждая такая пара дает уникальный вариант задачи. Например:

$1 \cdot 576 = 576 \implies b-24=1, a-24=576 \implies b=25, a=600$.

$2 \cdot 288 = 576 \implies b-24=2, a-24=288 \implies b=26, a=312$.

$...$

$18 \cdot 32 = 576 \implies b-24=18, a-24=32 \implies b=42, a=56$.

Общее количество таких пар равно 10. Следовательно, учитель может составить 10 различных вариантов задачи.

Ответ: 10