Номер 4, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 4, страница 269.

Условие.

4. Обыкновенную дробь с числителем 1 называют аликвотной дробью. Например, дроби $ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} $ — аликвотные дроби.

а) Сколькими различными способами, не учитывая порядка слагаемых, можно представить дробь $ \frac{1}{6} $ в виде суммы двух аликвотных дробей, знаменатели которых — различные числа?

б) Придумайте способ записи аликвотной дроби в виде суммы двух аликвотных дробей. Рассмотрите случаи: знаменатель дроби — простое число; знаменатель дроби — составное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Требуется найти количество способов представить дробь $ \frac{1}{6} $ в виде суммы двух аликвотных дробей с различными знаменателями. Пусть эти дроби $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{1}{y} $, где $x$ и $y$ — различные натуральные числа. Так как порядок слагаемых не важен, будем считать, что $ x < y $.

Запишем уравнение:
$ \frac{1}{6} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $

Приведём правую часть к общему знаменателю:
$ \frac{1}{6} = \frac{x+y}{xy} $
Из этого следует:
$ xy = 6(x+y) $
$ xy - 6x - 6y = 0 $

Это уравнение можно преобразовать, чтобы разложить на множители. Для этого прибавим к обеим частям $36$:
$ xy - 6x - 6y + 36 = 36 $
$ x(y-6) - 6(y-6) = 36 $
$ (x-6)(y-6) = 36 $

Поскольку $ \frac{1}{x} < \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{y} < \frac{1}{6} $, то $ x > 6 $ и $ y > 6 $. Это означает, что $x-6$ и $y-6$ являются натуральными числами. Из условия $ x < y $ следует, что $ x-6 < y-6 $.

Теперь задача сводится к поиску пар натуральных множителей числа 36, которые мы обозначим как $a = x-6$ и $b = y-6$, при условии $a < b$.
Найдем все такие пары $(a, b)$:
1) $a=1, b=36$. Тогда $x=a+6=7$, $y=b+6=42$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} $.
2) $a=2, b=18$. Тогда $x=a+6=8$, $y=b+6=24$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{8} + \frac{1}{24} $.
3) $a=3, b=12$. Тогда $x=a+6=9$, $y=b+6=18$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} $.
4) $a=4, b=9$. Тогда $x=a+6=10$, $y=b+6=15$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} $.

Других пар множителей, удовлетворяющих условию $a < b$, нет (случай $a=6, b=6$ привел бы к $x=y$, что противоречит условию). Таким образом, существует 4 различных способа.

Ответ: 4.

б)

Требуется придумать способ записи аликвотной дроби $ \frac{1}{n} $ в виде суммы двух других аликвотных дробей.

Универсальным способом, который подходит для любого натурального $ n > 1 $, является использование следующего тождества:
$ \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $
Проверим справедливость этого тождества, приведя правую часть к общему знаменателю:
$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} $
Знаменатели $ x=n+1 $ и $ y=n(n+1) $ всегда будут различными натуральными числами при $ n > 1 $.

Рассмотрим этот способ для указанных случаев.

Случай, когда знаменатель дроби — простое число.
Пусть знаменатель $ n=p $, где $p$ — простое число. Применяя предложенный способ, получаем:
$ \frac{1}{p} = \frac{1}{p+1} + \frac{1}{p(p+1)} $
Например, для простого числа $p=3$: $ \frac{1}{3} = \frac{1}{3+1} + \frac{1}{3(3+1)} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} $.

Случай, когда знаменатель дроби — составное число.
Пусть знаменатель $ n=c $, где $c$ — составное число. Способ также работает:
$ \frac{1}{c} = \frac{1}{c+1} + \frac{1}{c(c+1)} $
Например, для составного числа $c=6$: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{6+1} + \frac{1}{6(6+1)} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} $.
Для составных чисел могут существовать и другие разложения (как было показано в пункте а), но предложенный способ является наиболее простым и универсальным.

Ответ: Способ заключается в использовании тождества $ \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $, которое справедливо для любого натурального $ n > 1 $. Этот способ применим как для дробей с простыми, так и с составными знаменателями.