Номер 1132, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1132, страница 268.

Условие.

1132. Бассейн заполняют горячей и холодной водой, текущей из двух кранов. Оба крана заполняют бассейн за 1 ч 20 мин. Если первый кран работает 10 мин, а второй — 12 мин, то заполняется $\frac{2}{15}$ бассейна. За какое время заполнит бассейн кран с холодной водой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1. Обозначим производительность крана с горячей водой (первого крана) как $x$ (часть бассейна, заполняемая в минуту), а производительность крана с холодной водой (второго крана) — как $y$ (часть бассейна, заполняемая в минуту).

Согласно первому условию, оба крана вместе заполняют бассейн за 1 час 20 минут. Переведем это время в минуты:
$1 \text{ час } 20 \text{ минут} = 60 + 20 = 80 \text{ минут}$.
Совместная производительность двух кранов равна $x + y$. Работа, выполненная за 80 минут, равна объему всего бассейна, то есть 1. Составим первое уравнение:
$(x + y) \cdot 80 = 1$
$x + y = \frac{1}{80}$

Согласно второму условию, если первый кран работает 10 минут, а второй — 12 минут, то заполняется $\frac{2}{15}$ бассейна. Работа, выполненная первым краном за 10 минут, составляет $10x$. Работа, выполненная вторым краном за 12 минут, составляет $12y$. Суммарно они выполняют работу, равную $\frac{2}{15}$. Составим второе уравнение:
$10x + 12y = \frac{2}{15}$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = \frac{1}{80} \\ 10x + 12y = \frac{2}{15} \end{cases}$
Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения: $x = \frac{1}{80} - y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$10 \cdot (\frac{1}{80} - y) + 12y = \frac{2}{15}$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{10}{80} - 10y + 12y = \frac{2}{15}$
$\frac{1}{8} + 2y = \frac{2}{15}$
Теперь найдем $2y$:
$2y = \frac{2}{15} - \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 120:
$2y = \frac{2 \cdot 8}{120} - \frac{1 \cdot 15}{120}$
$2y = \frac{16 - 15}{120}$
$2y = \frac{1}{120}$
Отсюда находим производительность крана с холодной водой $y$:
$y = \frac{1}{120 \cdot 2} = \frac{1}{240}$

Мы выяснили, что производительность крана с холодной водой составляет $\frac{1}{240}$ бассейна в минуту. Чтобы найти время, за которое этот кран заполнит весь бассейн (то есть выполнит работу, равную 1), нужно разделить работу на производительность:
Время $T = \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{240}} = 240 \text{ минут}$.
Переведем полученное время в часы:
$240 \text{ минут} \div 60 \text{ минут/час} = 4 \text{ часа}$.

Ответ: кран с холодной водой заполнит бассейн за 4 часа.