Номер 3, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 3, страница 269.

Условие.

3. a) При каком наибольшем натуральном числе $n$ число $10!$ делится на $n^n$? ($10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 9 \cdot 10$.)

б) При каком наименьшем натуральном числе $n$ число $10!$ не делится на $n^n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) При каком наибольшем натуральном числе n число 10! делится на nⁿ?

Нам необходимо найти наибольшее натуральное число n, для которого $10!$ делится на $n^n$. Число $10!$ представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 10: $10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$.

Для решения задачи разложим $10!$ на простые множители. Простыми числами, не превосходящими 10, являются 2, 3, 5, 7. Найдем степень каждого простого множителя в разложении $10!$ с помощью формулы Лежандра $E_p(k!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{k}{p^i} \rfloor$.

• Степень 2: $E_2(10!) = \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{4} \rfloor + \lfloor \frac{10}{8} \rfloor = 5 + 2 + 1 = 8$.
• Степень 3: $E_3(10!) = \lfloor \frac{10}{3} \rfloor + \lfloor \frac{10}{9} \rfloor = 3 + 1 = 4$.
• Степень 5: $E_5(10!) = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 2$.
• Степень 7: $E_7(10!) = \lfloor \frac{10}{7} \rfloor = 1$.

Таким образом, каноническое разложение числа $10!$ на простые множители имеет вид: $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.

Теперь будем проверять условие делимости $10!$ на $n^n$ для различных натуральных n. Так как мы ищем наибольшее значение n, начнем проверку с бо́льших чисел. Очевидно, что $n \le 10$, поскольку если $n > 10$, то n не является делителем $10!$, а значит и $n^n$ тем более.

• При n=10: нужно проверить, делится ли $10!$ на $10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$. Степень 5 в разложении $10!$ равна 2, что меньше 10. Условие не выполняется.
• При n=9: нужно проверить, делится ли $10!$ на $9^9 = (3^2)^9 = 3^{18}$. Степень 3 в разложении $10!$ равна 4, что меньше 18. Условие не выполняется.
• При n=8: нужно проверить, делится ли $10!$ на $8^8 = (2^3)^8 = 2^{24}$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8, что меньше 24. Условие не выполняется.
• При n=7: нужно проверить, делится ли $10!$ на $7^7$. Степень 7 в разложении $10!$ равна 1, что меньше 7. Условие не выполняется.
• При n=6: нужно проверить, делится ли $10!$ на $6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6$. Степень 3 в разложении $10!$ равна 4, что меньше 6. Условие не выполняется.
• При n=5: нужно проверить, делится ли $10!$ на $5^5$. Степень 5 в разложении $10!$ равна 2, что меньше 5. Условие не выполняется.
• При n=4: нужно проверить, делится ли $10!$ на $4^4 = (2^2)^4 = 2^8$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8. Так как $8 \ge 8$, условие выполняется.

Мы ищем наибольшее n. Мы установили, что для $n=4$ условие выполняется, а для всех целых n от 5 до 10 — нет. Следовательно, наибольшее такое число — это 4.

Ответ: 4.

б) При каком наименьшем натуральном числе n число 10! не делится на nⁿ?

Нам необходимо найти наименьшее натуральное число n, для которого $10!$ не делится на $n^n$. Для этого будем последовательно проверять натуральные числа n, начиная с 1. Воспользуемся разложением числа $10!$ на простые множители из пункта а): $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.

• При n=1: $n^n = 1^1 = 1$. Любое натуральное число делится на 1, поэтому $10!$ делится на $1^1$.
• При n=2: $n^n = 2^2$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8, а $8 \ge 2$. Следовательно, $10!$ делится на $2^2$.
• При n=3: $n^n = 3^3$. Степень 3 в разложении $10!$ равна 4, а $4 \ge 3$. Следовательно, $10!$ делится на $3^3$.
• При n=4: $n^n = 4^4 = (2^2)^4 = 2^8$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8, а $8 \ge 8$. Следовательно, $10!$ делится на $4^4$.
• При n=5: $n^n = 5^5$. Степень 5 в разложении $10!$ равна 2. Так как $2 < 5$, число $10!$ не может делиться на $5^5$.

Мы нашли первое натуральное число $n=5$, для которого условие делимости не выполняется. Следовательно, 5 и есть искомое наименьшее натуральное число.

Ответ: 5.