Номер 6, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 6, страница 269.

Условие.

6. Сколькими различными способами, не учитывая порядка слагаемых, можно представить дробь $\frac{1}{12}$ в виде суммы двух аликвотных дробей с разными знаменателями?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Пусть искомое представление дроби $\frac{1}{12}$ в виде суммы двух аликвотных дробей с разными знаменателями имеет вид: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$, где $x$ и $y$ — натуральные числа и $x \neq y$.

Поскольку порядок слагаемых не имеет значения, для получения уникальных пар слагаемых мы можем принять, что $x < y$.

Выразим $y$ из исходного уравнения:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{12} - \frac{1}{x}$
$\frac{1}{y} = \frac{x - 12}{12x}$
$y = \frac{12x}{x - 12}$

Чтобы $y$ было целым числом, знаменатель $x - 12$ должен быть делителем числителя $12x$. Для удобства анализа преобразуем это выражение:
$y = \frac{12(x - 12) + 144}{x - 12} = \frac{12(x - 12)}{x - 12} + \frac{144}{x - 12} = 12 + \frac{144}{x - 12}$

Из полученной формулы видно, что $y$ будет натуральным числом тогда и только тогда, когда выражение $x - 12$ является натуральным делителем числа 144. Обозначим $d = x - 12$. Поскольку $\frac{1}{y} > 0$, то $\frac{1}{12} - \frac{1}{x} > 0$, откуда $x > 12$. Следовательно, $d$ — натуральное число.

Наше условие $x < y$ теперь можно переписать через $d$:
$x < 12 + \frac{144}{x-12}$
$x - 12 < \frac{144}{x-12}$
$d < \frac{144}{d}$
$d^2 < 144$
$d < 12$ (поскольку $d$ — натуральное число).

Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных делителей числа 144, которые строго меньше 12.

Найдём все делители числа 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Выберем из них те, которые меньше 12: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9.

Всего таких делителей 7. Каждому из этих семи значений $d = x - 12$ соответствует одно уникальное решение $(x,y)$ с разными знаменателями, где $x < y$. Например, для $d=1$ имеем $x=13$ и $y=12+\frac{144}{1}=156$, что дает сумму $\frac{1}{13}+\frac{1}{156}=\frac{1}{12}$. Остальные 6 решений находятся аналогично.

Случай $d=12$ привел бы к $x=y=24$, что противоречит условию о разных знаменателях. Случаи $d>12$ привели бы к $x>y$, что является повторением уже найденных пар слагаемых, но в другом порядке.

Следовательно, существует ровно 7 различных способов.

Ответ: 7