Номер 11, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 11, страница 270.

Условие.

произведения? Сколько раз?

11. Найдите несократимую дробь $p/q$, такую, что $p/q = \frac{1234\underbrace{4\dots4}_{100}321}{1234\underbrace{5\dots5}_{99}4321}$

(100 четвёрок в числителе и 99 пятёрок в знаменателе).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Обозначим числитель исходной дроби как $A$, а знаменатель как $B$. Согласно условию:

$A = 123\underbrace{44...4}_{100}321$

$B = 1234\underbrace{55...5}_{99}4321$

Наша задача — найти несократимую дробь $\frac{p}{q} = \frac{A}{B}$.

Для решения найдём более общее алгебраическое представление для числителя и знаменателя.

1. Упрощение числителя A

Рассмотрим число вида $A(n) = 123\underbrace{4...4}_{n}321$. В нашей задаче $n=100$.

Это число можно представить в виде суммы:

$A(n) = 123 \cdot 10^{n+3} + 4 \cdot (\underbrace{11...1}_{n}) \cdot 10^3 + 321$

Воспользуемся представлением числа, состоящего из $k$ единиц (репьюнит), в виде $R_k = \frac{10^k-1}{9}$.

$A(n) = 123 \cdot 10^{n+3} + 4 R_n \cdot 10^3 + 321$

Умножим обе части равенства на 9:

$9A(n) = 9 \cdot (123 \cdot 10^{n+3} + 4 \frac{10^n-1}{9} \cdot 10^3 + 321)$

$9A(n) = 1107 \cdot 10^{n+3} + 4(10^n-1) \cdot 10^3 + 2889$

$9A(n) = 1107 \cdot 10^{n+3} + 4 \cdot 10^{n+3} - 4 \cdot 10^3 + 2889$

$9A(n) = 1111 \cdot 10^{n+3} - 4000 + 2889$

$9A(n) = 1111 \cdot 10^{n+3} - 1111 = 1111 \cdot (10^{n+3} - 1)$

Разделив на 9, получаем элегантное выражение для $A(n)$:

$A(n) = \frac{1111 \cdot (10^{n+3} - 1)}{9} = 1111 \cdot R_{n+3}$

Для $n=100$ числитель равен:

$A = A(100) = 1111 \cdot R_{103}$

2. Упрощение знаменателя B

Теперь рассмотрим число вида $B(m) = 1234\underbrace{5...5}_{m}4321$. В нашей задаче $m=99$.

Аналогично представим его в виде суммы:

$B(m) = 1234 \cdot 10^{m+4} + 5 R_m \cdot 10^4 + 4321$

Умножим обе части на 9:

$9B(m) = 9 \cdot (1234 \cdot 10^{m+4} + 5 \frac{10^m-1}{9} \cdot 10^4 + 4321)$

$9B(m) = 11106 \cdot 10^{m+4} + 5(10^m-1) \cdot 10^4 + 38889$

$9B(m) = 11106 \cdot 10^{m+4} + 5 \cdot 10^{m+4} - 5 \cdot 10^4 + 38889$

$9B(m) = 11111 \cdot 10^{m+4} - 50000 + 38889$

$9B(m) = 11111 \cdot 10^{m+4} - 11111 = 11111 \cdot (10^{m+4} - 1)$

Разделив на 9, получаем выражение для $B(m)$:

$B(m) = \frac{11111 \cdot (10^{m+4} - 1)}{9} = 11111 \cdot R_{m+4}$

Для $m=99$ знаменатель равен:

$B = B(99) = 11111 \cdot R_{99+4} = 11111 \cdot R_{103}$

3. Нахождение несократимой дроби

Теперь мы можем составить дробь и сократить её:

$\frac{p}{q} = \frac{A}{B} = \frac{1111 \cdot R_{103}}{11111 \cdot R_{103}}$

Сокращая общий множитель $R_{103}$, получаем:

$\frac{p}{q} = \frac{1111}{11111}$

Чтобы убедиться, что эта дробь несократимая, разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$1111 = 11 \cdot 101$

$11111 = 41 \cdot 271$

Поскольку у числителя и знаменателя нет общих простых множителей, дробь $\frac{1111}{11111}$ является несократимой.

Таким образом, $p=1111$ и $q=11111$.

Ответ: $\frac{p}{q} = \frac{1111}{11111}$.