Номер 12, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 12, страница 270.

Условие.

12. Из ЕГЭ. Найдите все тройки натуральных чисел m, n и k, удовлетворяющие уравнению:

a) $5 \cdot k! = m! - n!$;

б) $k! = 3 \cdot m! + 6 \cdot n!$ ($1! = 1$; $2! = 1 \cdot 2$; $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a)

Исходное уравнение: $5 \cdot k! = m! - n!$. Поскольку $m!$ и $n!$ - факториалы натуральных чисел, из уравнения следует, что $m! - n! > 0$, а значит $m! > n!$, что возможно только при $m > n$. Перепишем уравнение в виде $m! = n! + 5 \cdot k!$. Рассмотрим три случая в зависимости от соотношения между $k$ и $n$.

Случай 1: $k < n$. Разделим обе части уравнения $m! = n! + 5 \cdot k!$ на $k!$: $\frac{m!}{k!} = \frac{n!}{k!} + 5$ $(k+1)(k+2)...m = (k+1)(k+2)...n + 5$ Вынесем общий множитель $(k+1)...n$ в левой части: $(k+1)...n \cdot (n+1)...m = (k+1)...n + 5$ $(k+1)...n \cdot [(n+1)...m - 1] = 5$ Произведение $(k+1)...n$ является целым числом, которое должно быть делителем числа 5. Возможные делители: 1 и 5. Если произведение $(k+1)...n$ содержит хотя бы два последовательных множителя (т.е. $n > k+1$), то оно будет чётным, а 5 — нечётное число. Следовательно, произведение может состоять только из одного множителя, то есть $n=k+1$. Тогда $k+1$ должно быть делителем 5. Если $k+1=1$, то $k=0$, что не является натуральным числом. Если $k+1=5$, то $k=4$. Тогда $n=k+1=5$. Подставим эти значения в уравнение $(k+1) \cdot [(n+1)...m - 1] = 5$: $5 \cdot [(5+1)...m - 1] = 5$ $(6 \cdot 7 \cdot ... \cdot m) - 1 = 1$ $6 \cdot 7 \cdot ... \cdot m = 2$ Это уравнение не имеет решений в натуральных числах, так как $m>n=5$, следовательно $m \ge 6$, и произведение в левой части не может быть меньше 6. Таким образом, в случае $k < n$ решений нет.

Случай 2: $k = n$. Уравнение принимает вид $5 \cdot n! = m! - n!$, откуда $6 \cdot n! = m!$. Разделим на $n!$: $6 = \frac{m!}{n!} = (n+1)(n+2)...m$ Нужно найти, когда произведение последовательных натуральных чисел равно 6.

• Если произведение состоит из одного множителя ($m=n+1$), то $n+1=6 \implies n=5$. Тогда $m=6$. Так как $k=n$, получаем $k=5$. Тройка $(m,n,k) = (6,5,5)$ является решением. Проверка: $5 \cdot 5! = 5 \cdot 120 = 600$; $6! - 5! = 720 - 120 = 600$. Верно.
• Если произведение состоит из двух множителей ($m=n+2$), то $(n+1)(n+2)=6$. Так как множители — последовательные натуральные числа, то это $2 \cdot 3 = 6$. Отсюда $n+1=2 \implies n=1$. Тогда $m=3$. Так как $k=n$, получаем $k=1$. Тройка $(m,n,k) = (3,1,1)$ является решением. Проверка: $5 \cdot 1! = 5 \cdot 1 = 5$; $3! - 1! = 6 - 1 = 5$. Верно.
• Если произведение состоит из трёх или более множителей ($m \ge n+3$), то оно будет не меньше, чем $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, что больше 6. Значит, других решений нет.

Случай 3: $k > n$. Из уравнения $m! = n! + 5k!$ следует, что $m! > 5k!$. Это возможно только если $m > k$, так как при $m \le k$ было бы $m! \le k!$, что привело бы к неверному неравенству $k! > 5k!$. Итак, имеем $m > k > n$. Разделим уравнение $m! = n! + 5k!$ на $n!$: $\frac{m!}{n!} = 1 + 5 \frac{k!}{n!}$ $(n+1)(n+2)...m = 1 + 5 \cdot (n+1)(n+2)...k$ $(n+1)...k \cdot (k+1)...m = 1 + 5 \cdot (n+1)...k$ $(n+1)...k \cdot [(k+1)...m - 5] = 1$ Поскольку $k>n \ge 1$, то множитель $(n+1)...k$ является произведением натуральных чисел, каждое из которых больше или равно 2. Следовательно, их произведение не может быть равно 1. Таким образом, в случае $k > n$ решений нет.

Ответ: (3, 1, 1), (6, 5, 5).

б)

Исходное уравнение: $k! = 3 \cdot m! + 6 \cdot n!$. Правая часть положительна, поэтому $k!$ определен. Из $k! = 3m! + 6n!$ следует, что $k! > 3m!$ и $k! > 6n!$. Это означает, что $k > m$ и $k > n$. Правая часть уравнения делится на 3, значит $k!$ тоже делится на 3. Это возможно при $k \ge 3$. Рассмотрим два случая в зависимости от соотношения между $m$ и $n$.

Случай 1: $m \ge n$. Разделим обе части уравнения на $n!$ (наименьший из факториалов в этом случае, кроме возможно $k!$): $\frac{k!}{n!} = 3\frac{m!}{n!} + 6$ $(n+1)(n+2)...k = 3 \cdot (n+1)(n+2)...m + 6$

• Если $m=n$: Уравнение упрощается до $(n+1)...k = 3 \cdot 1 + 6 = 9$. Произведение последовательных натуральных чисел равно 9. Это возможно только если произведение состоит из одного множителя, равного 9. То есть $k=n+1$ и $n+1=9 \implies n=8$. Отсюда $m=n=8$ и $k=9$. Получаем тройку $(m,n,k) = (8,8,9)$. Проверка: $3 \cdot 8! + 6 \cdot 8! = 9 \cdot 8! = 9!$. Верно.
• Если $m>n$: В этом случае $k>m>n$. Преобразуем уравнение: $(n+1)...m \cdot (m+1)...k = 3 \cdot (n+1)...m + 6$ $(n+1)...m \cdot [(m+1)...k - 3] = 6$ Произведение $X = (n+1)...m$ является делителем числа 6. Если $m \ge n+2$, то $X$ - произведение как минимум двух последовательных натуральных чисел $\ge 2$. Наименьшее такое произведение - $(1+1)(1+2) = 6$. Значит, $X$ может быть равно только 6. Это достигается при $n=1, m=3$. Подставляем $X=6$: $6 \cdot [(3+1)...k - 3] = 6 \implies (4 \cdot 5 \cdot... \cdot k) = 4$. Это возможно только если $k=4$. Получаем тройку $(m,n,k) = (3,1,4)$. Проверка: $3 \cdot 3! + 6 \cdot 1! = 3 \cdot 6 + 6 \cdot 1 = 18+6=24=4!$. Верно. Если $m=n+1$, то $X=n+1$. $n+1$ - делитель 6. Так как $n \ge 1$, $n+1 \in \{2,3,6\}$. - $n+1=2 \implies n=1, m=2$. Тогда $2[(2+1)...k-3]=6 \implies 3 \cdot 4...k = 6$. Нет решений в натуральных $k$. - $n+1=3 \implies n=2, m=3$. Тогда $3[(3+1)...k-3]=6 \implies 4 \cdot 5...k = 5$. Нет решений. - $n+1=6 \implies n=5, m=6$. Тогда $6[(6+1)...k-3]=6 \implies 7 \cdot 8...k = 4$. Нет решений.

Случай 2: $m < n$. В этом случае $k>n>m$. Разделим обе части уравнения на $m!$: $\frac{k!}{m!} = 3 + 6\frac{n!}{m!}$ $(m+1)...k = 3 + 6(m+1)...n$ $(m+1)...n \cdot (n+1)...k = 3 + 6(m+1)...n$ $(m+1)...n \cdot [(n+1)...k - 6] = 3$ Произведение $Y = (m+1)...n$ является делителем числа 3. Так как $n>m \ge 1$, то $Y \ge m+1 \ge 2$. Следовательно, $Y$ может быть только 3. Произведение последовательных натуральных чисел равно 3 только если это само число 3. Значит, произведение состоит из одного множителя: $n=m+1$ и $m+1=3 \implies m=2$. Тогда $n=3$. Подставим $Y=3$ в уравнение: $3 \cdot [(n+1)...k - 6] = 3$ $(n+1)...k - 6 = 1 \implies (n+1)...k = 7$ Подставим $n=3$: $(3+1)...k = 7 \implies 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot k = 7$. Это уравнение не имеет решений, так как левая часть при $k \ge 4$ будет кратна 4. Следовательно, в случае $m < n$ решений нет.

Ответ: (3, 1, 4), (8, 8, 9).