Номер 4, страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для самоконтроля. Глава 3. Линейные уравнения - номер 4, страница 271.

Условие.

4. От города до посёлка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы его скорость была на 25 км/ч выше, он затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Чему равно расстояние от города до посёлка? Пусть x км — расстояние от города до посёлка. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) $ \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25 $

2) $ \frac{x}{3} - \frac{x}{2} = 25 $

3) $ \frac{2}{x} - \frac{3}{x} = 25 $

4) $ \frac{3}{x} - \frac{2}{x} = 25 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Чему равно расстояние от города до посёлка?
Для решения задачи обозначим искомое расстояние через $x$ км.
По условию, первоначальное время в пути $t_1 = 3$ часа.
Следовательно, первоначальная скорость автомобиля $v_1$ равна отношению расстояния ко времени:
$v_1 = \frac{x}{t_1} = \frac{x}{3}$ км/ч.
Рассмотрим второй (гипотетический) случай. Если бы скорость автомобиля была на 25 км/ч выше, то она бы составила $v_2 = v_1 + 25$ км/ч. Время в пути $t_2$ при этом было бы на 1 час меньше.
Новое время: $t_2 = t_1 - 1 = 3 - 1 = 2$ часа.
Расстояние $x$ остается тем же. Новую скорость $v_2$ можно также выразить через расстояние $x$ и новое время $t_2$:
$v_2 = \frac{x}{t_2} = \frac{x}{2}$ км/ч.
Мы знаем, что разница между новой и первоначальной скоростью составляет 25 км/ч: $v_2 - v_1 = 25$.
Подставим в это равенство выражения для $v_1$ и $v_2$ через $x$:
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25$.
Теперь решим это уравнение, чтобы найти расстояние $x$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = 25$.
$\frac{3x - 2x}{6} = 25$.
$\frac{x}{6} = 25$.
$x = 25 \cdot 6$.
$x = 150$ км.
Таким образом, расстояние от города до посёлка составляет 150 км.
Ответ: 150 км.

Какое уравнение соответствует условию задачи?
Как было показано в решении выше, пусть $x$ км — расстояние от города до посёлка.
Первоначальная скорость автомобиля $v_1 = \frac{x}{3}$ км/ч.
Новое время в пути $t_2 = 3 - 1 = 2$ часа.
Новая скорость автомобиля $v_2 = \frac{x}{2}$ км/ч.
Разница между новой и первоначальной скоростью по условию составляет 25 км/ч, поэтому можно составить уравнение:
$v_2 - v_1 = 25$.
Подставив выражения для скоростей, получаем:
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25$.
Это уравнение соответствует варианту ответа под номером 1.
Ответ: 1) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25$.