Номер 10, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

10. Натуральное число, записанное несколькими единицами, умножили на другое натуральное число, записанное несколькими единицами. Какой получился результат, если в записи первого числа $m$ единиц, а в записи второго числа $n$ единиц ($m \geq n$, $2 \leq n \leq 9$)? Какая цифра будет повторяться в середине записи произведения? Сколько раз?

Обозначим натуральное число, записанное $k$ единицами, как $R_k$. По условию задачи, необходимо найти произведение $P = R_m \cdot R_n$, где $m \ge n$ и $2 \le n \le 9$.

Для анализа структуры произведения представим умножение в виде суммы. Число $R_n$ можно записать как $1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{n-1}$. Тогда произведение $P$ равно: $P = R_m \cdot (1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{n-1}) = R_m + 10 \cdot R_m + 10^2 \cdot R_m + \dots + 10^{n-1} \cdot R_m$

Это означает, что результат является суммой $n$ слагаемых, где каждое слагаемое — это число $R_m$ (состоящее из $m$ единиц), сдвинутое влево на соответствующее количество разрядов (от 0 до $n-1$).

Рассмотрим, как формируются цифры итогового числа при сложении этих слагаемых в столбик. Поскольку по условию $n \le 9$, максимальная сумма цифр в любом столбце будет равна $n$, то есть не более 9. Это означает, что при сложении не возникает переносов в старшие разряды, и цифра в каждом разряде результата равна просто сумме единиц в этом столбце.

• В крайнем правом разряде (разряде единиц) будет стоять одна единица. Сумма равна 1.
• В следующем разряде (десятков) будут складываться две единицы. Сумма равна 2.
• Процесс продолжается, и для $k$-го разряда (справа, $1 \le k \le n$) сумма будет равна $k$.
• Начиная с $n$-го разряда и до $m$-го разряда включительно, в каждом столбце будет находиться ровно $n$ единиц. Таким образом, цифра в этих разрядах будет $n$.
• После $m$-го разряда количество единиц в столбцах начнет убывать: $n-1$, $n-2$, и так до 1.

Это наблюдение позволяет нам описать структуру итогового числа.

Какой получился результат, если в записи первого числа m единиц, а в записи второго числа n единиц (m ≥ n, 2 ≤ n ≤ 9)?

В результате умножения получается число, запись которого симметрична и состоит из трех частей:
1. Начальная часть — это цифры, образующие возрастающую арифметическую прогрессию от 1 до $n-1$, то есть последовательность $1, 2, 3, \dots, (n-1)$.
2. Центральная часть — это цифра $n$, которая повторяется несколько раз.
3. Конечная часть — это цифры, образующие убывающую арифметическую прогрессию от $n-1$ до 1, то есть последовательность $(n-1), \dots, 3, 2, 1$.
Например, при $m=5, n=4$ ($n-1=3$), произведение $11111 \cdot 1111$ равно $12344321$. Здесь мы видим последовательность $1, 2, 3$, затем центральную часть с цифрой $4$, и в конце — последовательность $3, 2, 1$.
Ответ: В результате получается число, которое начинается с последовательности цифр от 1 до $n-1$, затем следует повторяющаяся цифра $n$, и заканчивается число последовательностью цифр от $n-1$ до 1.

Какая цифра будет повторяться в середине записи произведения?

Как следует из анализа сложения в столбик, максимальная сумма цифр в одном столбце равна $n$ (поскольку мы складываем $n$ слагаемых, и $n \le 9$). Эта цифра $n$ и образует "плато" в середине записи числа, то есть является повторяющейся цифрой.
Ответ: В середине записи произведения будет повторяться цифра $n$.

Сколько раз?

Повторение цифры $n$ происходит в тех разрядах, где в сумме участвуют единицы из всех $n$ слагаемых. Это происходит, начиная с $n$-го разряда и заканчивая $m$-м разрядом (если считать справа, с 1). Количество таких разрядов можно вычислить как $m - n + 1$.
В случае, когда $m=n$, количество повторений равно $n - n + 1 = 1$, то есть цифра $n$ встречается один раз, образуя вершину числового палиндрома (например, $111 \cdot 111 = 12321$).
Ответ: Эта цифра будет повторяться $m-n+1$ раз.