Номер 10, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 10, страница 270.

Условие.

10. Натуральное число, записанное несколькими единицами, умножили на другое натуральное число, записанное несколькими единицами. Какой получился результат, если в записи первого числа $m$ единиц, а в записи второго числа $n$ единиц ($m \geq n$, $2 \leq n \leq 9$)? Какая цифра будет повторяться в середине записи произведения? Сколько раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Обозначим натуральное число, записанное `k` единицами, как `R_k`. По условию задачи, необходимо найти произведение `P = R_m \cdot R_n`, где `m \ge n` и `2 \le n \le 9`.

Для анализа структуры произведения представим умножение в виде суммы. Число `R_n` можно записать как `1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{n-1}`. Тогда произведение `P` равно: `P = R_m \cdot (1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{n-1}) = R_m + 10 \cdot R_m + 10^2 \cdot R_m + \dots + 10^{n-1} \cdot R_m`

Это означает, что результат является суммой `n` слагаемых, где каждое слагаемое — это число `R_m` (состоящее из `m` единиц), сдвинутое влево на соответствующее количество разрядов (от 0 до `n-1`).

Рассмотрим, как формируются цифры итогового числа при сложении этих слагаемых в столбик. Поскольку по условию `n \le 9`, максимальная сумма цифр в любом столбце будет равна `n`, то есть не более 9. Это означает, что при сложении не возникает переносов в старшие разряды, и цифра в каждом разряде результата равна просто сумме единиц в этом столбце.

• В крайнем правом разряде (разряде единиц) будет стоять одна единица. Сумма равна 1.
• В следующем разряде (десятков) будут складываться две единицы. Сумма равна 2.
• Процесс продолжается, и для `k`-го разряда (справа, `1 \le k \le n`) сумма будет равна `k`.
• Начиная с `n`-го разряда и до `m`-го разряда включительно, в каждом столбце будет находиться ровно `n` единиц. Таким образом, цифра в этих разрядах будет `n`.
• После `m`-го разряда количество единиц в столбцах начнет убывать: `n-1`, `n-2`, и так до 1.

Это наблюдение позволяет нам описать структуру итогового числа.

Какой получился результат, если в записи первого числа m единиц, а в записи второго числа n единиц (m ≥ n, 2 ≤ n ≤ 9)?

В результате умножения получается число, запись которого симметрична и состоит из трех частей:
1. Начальная часть — это цифры, образующие возрастающую арифметическую прогрессию от 1 до `n-1`, то есть последовательность `1, 2, 3, \dots, (n-1)`.
2. Центральная часть — это цифра `n`, которая повторяется несколько раз.
3. Конечная часть — это цифры, образующие убывающую арифметическую прогрессию от `n-1` до 1, то есть последовательность `(n-1), \dots, 3, 2, 1`.
Например, при `m=5, n=4` (`n-1=3`), произведение `11111 \cdot 1111` равно `12344321`. Здесь мы видим последовательность `1, 2, 3`, затем центральную часть с цифрой `4`, и в конце — последовательность `3, 2, 1`.
Ответ: В результате получается число, которое начинается с последовательности цифр от 1 до `n-1`, затем следует повторяющаяся цифра `n`, и заканчивается число последовательностью цифр от `n-1` до 1.

Какая цифра будет повторяться в середине записи произведения?

Как следует из анализа сложения в столбик, максимальная сумма цифр в одном столбце равна `n` (поскольку мы складываем `n` слагаемых, и `n \le 9`). Эта цифра `n` и образует "плато" в середине записи числа, то есть является повторяющейся цифрой.
Ответ: В середине записи произведения будет повторяться цифра `n`.

Сколько раз?

Повторение цифры `n` происходит в тех разрядах, где в сумме участвуют единицы из всех `n` слагаемых. Это происходит, начиная с `n`-го разряда и заканчивая `m`-м разрядом (если считать справа, с 1). Количество таких разрядов можно вычислить как `m - n + 1`.
В случае, когда `m=n`, количество повторений равно `n - n + 1 = 1`, то есть цифра `n` встречается один раз, образуя вершину числового палиндрома (например, `111 \cdot 111 = 12321`).
Ответ: Эта цифра будет повторяться `m-n+1` раз.