Номер 1095, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1095, страница 264.

Условие.

1095. Если учеников, пришедших на школьную математическую олимпиаду, в классе посадить по одному за каждую парту, то не хватит 11 парт, а если посадить по двое за парту, то останется ещё 5 свободных парт. Сколько учеников пришло на олимпиаду и сколько парт в классе?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество парт в классе, а $y$ — количество учеников, пришедших на олимпиаду.

Рассмотрим первое условие: «если учеников... посадить по одному за каждую парту, то не хватит 11 парт». Это означает, что если каждый ученик сядет за отдельную парту, то количество учеников окажется на 11 больше, чем количество имеющихся парт. Математически это можно записать в виде уравнения:

$y = x + 11$

Рассмотрим второе условие: «если посадить по двое за парту, то останется ещё 5 свободных парт». Это значит, что для рассадки учеников по двое будет задействовано на 5 парт меньше, чем их есть в классе. Количество занятых парт составит $x - 5$. Поскольку за каждую из этих парт сели по два ученика, общее количество учеников можно выразить так:

$y = 2 \cdot (x - 5)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y = x + 11 \\ y = 2(x - 5) \end{cases}$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:

$x + 11 = 2(x - 5)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 11 = 2x - 10$

Теперь соберем все слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$11 + 10 = 2x - x$

$21 = x$

Таким образом, мы выяснили, что в классе 21 парта.

Чтобы найти количество учеников, подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$y = x + 11 = 21 + 11 = 32$

Следовательно, на олимпиаду пришло 32 ученика.

Проведем проверку:
1. Если 32 ученика садятся по одному, им нужно 32 парты. В классе 21 парта, значит, не хватает $32 - 21 = 11$ парт. Это соответствует первому условию.
2. Если 32 ученика садятся по двое, они займут $32 / 2 = 16$ парт. В классе 21 парта, значит, останутся свободными $21 - 16 = 5$ парт. Это соответствует второму условию.

Ответ: на олимпиаду пришло 32 ученика, в классе была 21 парта.