Номер 18, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для самоконтроля. Глава 3. Линейные уравнения - номер 18, страница 272.

Условие.

18. Найдите наименьшее значение выражения

$(3x - 4y - 2)^2 + (x - 5y + 3)^2$

и значения $x$ и $y$, при которых оно достигается.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Данное выражение $S = (3x - 4y - 2)^2 + (x - 5y + 3)^2$ представляет собой сумму двух квадратов.

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(3x - 4y - 2)^2 \ge 0$ и $(x - 5y + 3)^2 \ge 0$, то и их сумма всегда будет неотрицательной: $S \ge 0$.

Следовательно, наименьшее возможное значение выражения равно 0. Это значение достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Для нахождения соответствующих значений $x$ и $y$ составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 4y - 2 = 0 \\ x - 5y + 3 = 0 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 5y - 3$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$3(5y - 3) - 4y - 2 = 0$

Раскроем скобки и найдем значение $y$:
$15y - 9 - 4y - 2 = 0$
$11y - 11 = 0$
$11y = 11$
$y = 1$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 1$ в выражение $x = 5y - 3$:
$x = 5(1) - 3 = 5 - 3 = 2$

Таким образом, наименьшее значение выражения, равное 0, достигается при $x=2$ и $y=1$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно 0; оно достигается при $x=2$ и $y=1$.