Номер 1040, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1040, страница 258.

Условие.

1040. Катер прошёл $s$ км по течению реки за $x$ ч, а против течения — за $y$ ч. Какова скорость течения реки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_{к}$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), км/ч.
• $v_{т}$ — скорость течения реки, км/ч.
• $s$ — пройденное расстояние, равное $s$ км.
• $x$ — время движения по течению, равное $x$ ч.
• $y$ — время движения против течения, равное $y$ ч.

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по~течению} = v_{к} + v_{т}$.

Из условия задачи мы знаем, что катер прошел расстояние $s$ за время $x$. Используя основную формулу скорости $v = \frac{S}{t}$, можем выразить скорость по течению:

$v_{по~течению} = \frac{s}{x}$

Таким образом, мы получаем первое уравнение: $v_{к} + v_{т} = \frac{s}{x}$

Аналогично, скорость катера при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против~течения} = v_{к} - v_{т}$.

Это же расстояние $s$ против течения катер прошел за время $y$. Следовательно, его скорость против течения равна:

$v_{против~течения} = \frac{s}{y}$

Отсюда получаем второе уравнение: $v_{к} - v_{т} = \frac{s}{y}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($v_{к}$ и $v_{т}$):

$\begin{cases} v_{к} + v_{т} = \frac{s}{x} \\ v_{к} - v_{т} = \frac{s}{y} \end{cases}$

Цель задачи — найти скорость течения реки, то есть $v_{т}$. Для этого удобно вычесть второе уравнение из первого. Эта операция позволит исключить неизвестную $v_{к}$:

$(v_{к} + v_{т}) - (v_{к} - v_{т}) = \frac{s}{x} - \frac{s}{y}$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$v_{к} + v_{т} - v_{к} + v_{т} = \frac{s}{x} - \frac{s}{y}$

После упрощения левой части получаем:

$2v_{т} = \frac{s}{x} - \frac{s}{y}$

Чтобы продолжить, приведем дроби в правой части к общему знаменателю, который равен $xy$:

$2v_{т} = \frac{s \cdot y}{xy} - \frac{s \cdot x}{xy}$

$2v_{т} = \frac{sy - sx}{xy}$

Вынесем общий множитель $s$ в числителе за скобки:

$2v_{т} = \frac{s(y - x)}{xy}$

Наконец, чтобы найти искомую скорость течения $v_{т}$, разделим обе части уравнения на 2:

$v_{т} = \frac{s(y - x)}{2xy}$

Поскольку движение против течения всегда занимает больше времени, чем по течению (при одинаковом расстоянии), то $y > x$, что обеспечивает положительное значение для скорости течения.

Ответ: $\frac{s(y-x)}{2xy}$ км/ч.