Страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

683. Напишите систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными — это набор из двух уравнений первой степени, которые должны выполняться одновременно. Каждое такое уравнение связывает две переменные (неизвестные), обычно обозначаемые как $x$ и $y$.

Общий вид линейного уравнения с двумя неизвестными: $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — это неизвестные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю. Графиком такого уравнения является прямая линия на координатной плоскости.

Система из двух таких уравнений записывается в общем виде так: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ Здесь $x$ и $y$ — общие неизвестные для обоих уравнений, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — заданные коэффициенты. Решить такую систему — значит найти все пары чисел $(x; y)$, которые одновременно удовлетворяют и первому, и второму уравнению, или доказать, что таких пар не существует.

Чтобы написать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, нужно задать конкретные числовые значения для коэффициентов $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$. Примеров таких систем можно составить бесконечно много.

Ответ: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

684. Выясните, является ли пара чисел $(-3; 1)$ решением системы уравнений:

а) $\begin{cases} x + y - 3 = 0, \\ 2x - 3y - 1 = 0; \end{cases}$ б) $\begin{cases} x - y + 4 = 0, \\ 3x + 4y + 5 = 0. \end{cases}$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(-3; 1)$ решением системы уравнений, необходимо подставить эти значения ($x = -3$, $y = 1$) в каждое уравнение системы. Если в результате получаются верные равенства для всех уравнений системы, то данная пара чисел является ее решением.

а)

Рассмотрим систему: $\begin{cases} x + y - 3 = 0, \\ 2x - 3y - 1 = 0; \end{cases}$

Подставим значения $x = -3$ и $y = 1$ в первое уравнение:

$(-3) + 1 - 3 = -2 - 3 = -5$

Мы получили $-5 = 0$, что является неверным равенством. Поскольку пара чисел не удовлетворяет даже первому уравнению, она не может быть решением всей системы.

Ответ: пара чисел $(-3; 1)$ не является решением системы.

б)

Рассмотрим систему: $\begin{cases} x - y + 4 = 0, \\ 3x + 4y + 5 = 0. \end{cases}$

Подставим значения $x = -3$ и $y = 1$ в первое уравнение:

$(-3) - 1 + 4 = -4 + 4 = 0$

Мы получили $0 = 0$, что является верным равенством. Теперь проверим второе уравнение.

Подставим значения $x = -3$ и $y = 1$ во второе уравнение:

$3 \cdot (-3) + 4 \cdot 1 + 5 = -9 + 4 + 5 = -5 + 5 = 0$

Мы снова получили $0 = 0$, что является верным равенством.

Так как пара чисел $(-3; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Ответ: пара чисел $(-3; 1)$ является решением системы.

685. a) Что называют решением системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными?

б) Что значит решить систему уравнений?

а) Решением системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (например, $x$ и $y$) называют упорядоченную пару чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которой вместо переменных $x$ и $y$ в каждое уравнение системы, оба уравнения обращаются в верные числовые равенства.

Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Пара чисел $(x_0; y_0)$ будет решением этой системы, если одновременно выполняются два равенства: $a_1x_0 + b_1y_0 = c_1$ и $a_2x_0 + b_2y_0 = c_2$.

Геометрически, каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это координаты общей точки (или точек) этих двух прямых, то есть точки их пересечения.

Ответ: Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными является пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

б) Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует. Процесс решения не сводится к нахождению только одного решения; необходимо найти полное множество всех решений.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными возможны три случая. Во-первых, система может иметь единственное решение, если прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются в одной точке. Во-вторых, система может не иметь решений (быть несовместной), если прямые параллельны и не совпадают. В-третьих, система может иметь бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Таким образом, "решить систему" означает выполнить одно из следующих действий: указать единственную пару чисел, являющуюся решением; описать всё множество пар чисел, являющихся решениями; или доказать, что решений нет.

Ответ: Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.

686. Приведите примеры систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, имеющих коэффициенты при неизвестных:

а) пропорциональные;

б) непропорциональные.

а) пропорциональные

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными $x$ и $y$ в общем виде выглядит так: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ Коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях — это $a_1, b_1$ и $a_2, b_2$. Коэффициенты называются пропорциональными, если существует такое число $k \neq 0$, что $a_2 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot b_1$. Это равносильно условию, что отношения коэффициентов при соответствующих неизвестных равны: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} $$

Приведем пример такой системы. Возьмем в качестве первого уравнения, например, $3x + 2y = 8$. В этом уравнении коэффициенты $a_1 = 3$ и $b_1 = 2$. Чтобы составить второе уравнение с пропорциональными коэффициентами, умножим коэффициенты первого уравнения на одно и то же число, например, на 2. Получим коэффициенты для второго уравнения: $a_2 = 3 \cdot 2 = 6$ и $b_2 = 2 \cdot 2 = 4$. Свободный член $c_2$ для второго уравнения можно выбрать любым, например, $c_2 = 16$. Тогда второе уравнение будет $6x + 4y = 16$.

Таким образом, мы получили систему с пропорциональными коэффициентами: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 6x + 4y = 16 \end{cases} $$ Проверим пропорциональность коэффициентов, найдя их отношение: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Поскольку отношения равны, коэффициенты пропорциональны. Геометрически это означает, что графики этих уравнений (прямые) совпадают (так как $\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$), и система имеет бесконечно много решений. Если бы мы выбрали $c_2$ другим, например $c_2=5$, то прямые были бы параллельны, и система не имела бы решений, но коэффициенты при неизвестных все равно остались бы пропорциональными.

Ответ: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 6x + 4y = 16 \end{cases} $$

б) непропорциональные

Коэффициенты при неизвестных $a_1, b_1$ и $a_2, b_2$ называются непропорциональными, если их отношения не равны: $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$ Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Приведем пример такой системы. Возьмем то же первое уравнение: $3x + 2y = 8$. Здесь $a_1 = 3$, $b_1 = 2$. Теперь подберем коэффициенты $a_2$ и $b_2$ для второго уравнения так, чтобы нарушить пропорцию. Например, пусть второе уравнение будет $x - y = 1$. В этом случае коэффициенты $a_2 = 1$ и $b_2 = -1$.

Получили систему: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Проверим пропорциональность коэффициентов: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{1} = 3 $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1} = -2 $$ Поскольку $3 \neq -2$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, коэффициенты являются непропорциональными.

Ответ: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

687. Назовите коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений системы:

а) $\begin{cases} 2x + 3y + 1 = 0, \\ 3x - 2y - 4 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -x + y = 0, \\ -2x - 6 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} -3x - 2y + 7 = 0, \\ 2x + 5 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -4x - 5 = 0, \\ 2y + 4 = 0. \end{cases}$

Коэффициенты при неизвестных в линейном уравнении — это числовые множители, стоящие перед переменными (например, $x$ и $y$). Свободный член — это слагаемое, которое не содержит переменных. Общий вид линейного уравнения с двумя неизвестными: $ax + by + c = 0$, где $a$ и $b$ — коэффициенты при $x$ и $y$ соответственно, а $c$ — свободный член. Если какая-либо переменная или свободный член в уравнении отсутствуют, это означает, что соответствующий коэффициент или член равен нулю.

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y + 1 = 0 \\ 3x - 2y - 4 = 0 \end{cases} $$ В первом уравнении $2x + 3y + 1 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $2$;
- коэффициент при $y$ равен $3$;
- свободный член равен $1$.
Во втором уравнении $3x - 2y - 4 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $3$;
- коэффициент при $y$ равен $-2$;
- свободный член равен $-4$.
Ответ: В уравнении $2x + 3y + 1 = 0$ коэффициенты при неизвестных: $2$ (при $x$), $3$ (при $y$); свободный член: $1$. В уравнении $3x - 2y - 4 = 0$ коэффициенты при неизвестных: $3$ (при $x$), $-2$ (при $y$); свободный член: $-4$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} -x + y = 0 \\ -2x - 6 = 0 \end{cases} $$ В первом уравнении $-x + y = 0$, которое можно записать как $-1x + 1y + 0 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $-1$;
- коэффициент при $y$ равен $1$;
- свободный член равен $0$ (так как он отсутствует).
Во втором уравнении $-2x - 6 = 0$, которое можно записать как $-2x + 0y - 6 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $-2$;
- коэффициент при $y$ равен $0$ (так как слагаемое с $y$ отсутствует);
- свободный член равен $-6$.
Ответ: В уравнении $-x + y = 0$ коэффициенты при неизвестных: $-1$ (при $x$), $1$ (при $y$); свободный член: $0$. В уравнении $-2x - 6 = 0$ коэффициенты при неизвестных: $-2$ (при $x$), $0$ (при $y$); свободный член: $-6$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} -3x - 2y + 7 = 0 \\ 2x + 5 = 0 \end{cases} $$ В первом уравнении $-3x - 2y + 7 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $-3$;
- коэффициент при $y$ равен $-2$;
- свободный член равен $7$.
Во втором уравнении $2x + 5 = 0$, которое можно записать как $2x + 0y + 5 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $2$;
- коэффициент при $y$ равен $0$ (так как слагаемое с $y$ отсутствует);
- свободный член равен $5$.
Ответ: В уравнении $-3x - 2y + 7 = 0$ коэффициенты при неизвестных: $-3$ (при $x$), $-2$ (при $y$); свободный член: $7$. В уравнении $2x + 5 = 0$ коэффициенты при неизвестных: $2$ (при $x$), $0$ (при $y$); свободный член: $5$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} -4x - 5 = 0 \\ 2y + 4 = 0 \end{cases} $$ В первом уравнении $-4x - 5 = 0$, которое можно записать как $-4x + 0y - 5 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $-4$;
- коэффициент при $y$ равен $0$ (так как слагаемое с $y$ отсутствует);
- свободный член равен $-5$.
Во втором уравнении $2y + 4 = 0$, которое можно записать как $0x + 2y + 4 = 0$:
- коэффициент при $x$ равен $0$ (так как слагаемое с $x$ отсутствует);
- коэффициент при $y$ равен $2$;
- свободный член равен $4$.
Ответ: В уравнении $-4x - 5 = 0$ коэффициенты при неизвестных: $-4$ (при $x$), $0$ (при $y$); свободный член: $-5$. В уравнении $2y + 4 = 0$ коэффициенты при неизвестных: $0$ (при $x$), $2$ (при $y$); свободный член: $4$.

688. Составьте систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными по заданным коэффициентам при неизвестных $a$, $b$, $a_1$, $b_1$ и свободным членам $c$ и $c_1$:

а) $ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 5y = 4 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} -2x + y = 0 \\ 3x + y = -7 \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 0x - 4y = -2 \\ -x + 0y = 0 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} -x + y = -4 \\ 0x - 5y = 3 \end{cases} $

Общий вид системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, которые обозначим как $x$ и $y$, следующий:

$\begin{cases} ax + by = c \\ a_1x + b_1y = c_1 \end{cases}$

Для каждого набора коэффициентов из таблицы составим соответствующую систему уравнений, подставляя заданные значения $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ в общую форму и упрощая выражение.

Для первой строки таблицы

Заданные коэффициенты: $a=2, b=-3, c=1, a_1=1, b_1=5, c_1=4$.

Подставляем их в общую форму: $\begin{cases} 2x + (-3)y = 1 \\ 1x + 5y = 4 \end{cases}$.

После упрощения записи (убираем лишние скобки и коэффициент 1 перед переменной) получаем:

Ответ: $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 5y = 4 \end{cases}$

Для второй строки таблицы

Заданные коэффициенты: $a=-2, b=1, c=0, a_1=3, b_1=1, c_1=-7$.

Подставляем их в общую форму: $\begin{cases} -2x + 1y = 0 \\ 3x + 1y = -7 \end{cases}$.

После упрощения записи (коэффициент 1 перед переменной обычно не пишется) получаем:

Ответ: $\begin{cases} -2x + y = 0 \\ 3x + y = -7 \end{cases}$

Для третьей строки таблицы

Заданные коэффициенты: $a=0, b=-4, c=-2, a_1=-1, b_1=0, c_1=0$.

Подставляем их в общую форму: $\begin{cases} 0x + (-4)y = -2 \\ -1x + 0y = 0 \end{cases}$.

После упрощения записи (слагаемые с нулевым коэффициентом опускаются) получаем:

Ответ: $\begin{cases} -4y = -2 \\ -x = 0 \end{cases}$

Для четвертой строки таблицы

Заданные коэффициенты: $a=-1, b=1, c=-4, a_1=0, b_1=-5, c_1=3$.

Подставляем их в общую форму: $\begin{cases} -1x + 1y = -4 \\ 0x + (-5)y = 3 \end{cases}$.

После упрощения записи получаем:

Ответ: $\begin{cases} -x + y = -4 \\ -5y = 3 \end{cases}$

689. Покажите, что пара чисел (1; 2) является решением системы:

Для того чтобы показать, что пара чисел $(1; 2)$ является решением системы, нужно подставить значения $x=1$ и $y=2$ в каждое уравнение каждой системы и убедиться, что получаются верные числовые равенства.

а) Проверим систему: $ \begin{cases} x + y - 3 = 0, \\ x - y + 1 = 0; \end{cases} $
Подставляем $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение:
$1 + 2 - 3 = 3 - 3 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Подставляем $x=1$ и $y=2$ во второе уравнение:
$1 - 2 + 1 = -1 + 1 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Так как оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(1; 2)$ является решением системы.
Ответ: Пара чисел $(1; 2)$ является решением системы, поскольку при подстановке $x=1$ и $y=2$ оба уравнения ($1+2-3=0$ и $1-2+1=0$) превращаются в верные числовые равенства.

б) Проверим систему: $ \begin{cases} 2,5x - 2,5 = 0, \\ \frac{1}{4}y - \frac{1}{2} = 0; \end{cases} $
Подставляем $x=1$ в первое уравнение:
$2,5 \cdot 1 - 2,5 = 2,5 - 2,5 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Подставляем $y=2$ во второе уравнение:
$\frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Так как оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(1; 2)$ является решением системы.
Ответ: Пара чисел $(1; 2)$ является решением системы, поскольку при подстановке $x=1$ и $y=2$ оба уравнения ($2,5 \cdot 1 - 2,5 = 0$ и $\frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2} = 0$) превращаются в верные числовые равенства.

в) Проверим систему: $ \begin{cases} 2x + 3y - 8 = 0, \\ 4x - y - 2 = 0; \end{cases} $
Подставляем $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение:
$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 8 = 2 + 6 - 8 = 8 - 8 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Подставляем $x=1$ и $y=2$ во второе уравнение:
$4 \cdot 1 - 2 - 2 = 4 - 4 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Так как оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(1; 2)$ является решением системы.
Ответ: Пара чисел $(1; 2)$ является решением системы, поскольку при подстановке $x=1$ и $y=2$ оба уравнения ($2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 8 = 0$ и $4 \cdot 1 - 2 - 2 = 0$) превращаются в верные числовые равенства.

г) Проверим систему: $ \begin{cases} 0,35x + 1,6y - 3,55 = 0, \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{7} + \frac{5}{42} = 0. \end{cases} $
Подставляем $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение:
$0,35 \cdot 1 + 1,6 \cdot 2 - 3,55 = 0,35 + 3,2 - 3,55 = 3,55 - 3,55 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Подставляем $x=1$ и $y=2$ во второе уравнение:
$\frac{1}{6} - \frac{2}{7} + \frac{5}{42} = \frac{7}{42} - \frac{12}{42} + \frac{5}{42} = \frac{7 - 12 + 5}{42} = \frac{0}{42} = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.
Так как оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(1; 2)$ является решением системы.
Ответ: Пара чисел $(1; 2)$ является решением системы, поскольку при подстановке $x=1$ и $y=2$ оба уравнения ($0,35 \cdot 1 + 1,6 \cdot 2 - 3,55 = 0$ и $\frac{1}{6} - \frac{2}{7} + \frac{5}{42} = 0$) превращаются в верные числовые равенства.

690. Покажите, что пара чисел (-2; 1) не является решением системы:

а) $$\begin{cases} 2x - y + 5 = 0, \\ x + y - 3 = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 2x + 5y - 1 = 0, \\ 3x - 4 = 0. \end{cases}$$

Чтобы доказать, что пара чисел $(-2; 1)$ не является решением системы, необходимо подставить значения $x = -2$ и $y = 1$ в каждое уравнение системы и проверить, выполняются ли равенства. Пара чисел является решением системы только в том случае, если она обращает в верное равенство каждое из уравнений системы.

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 2x - y + 5 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases} $$

Подставим $x = -2$ и $y = 1$ в первое уравнение:

$2 \cdot (-2) - 1 + 5 = -4 - 1 + 5 = 0$

Получаем верное равенство $0 = 0$. Значит, пара чисел $(-2; 1)$ удовлетворяет первому уравнению.

Теперь подставим $x = -2$ и $y = 1$ во второе уравнение:

$(-2) + 1 - 3 = -1 - 3 =