Номер 685, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 685, страница 188.

Условие.

685. a) Что называют решением системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными?

б) Что значит решить систему уравнений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Решением системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (например, $x$ и $y$) называют упорядоченную пару чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которой вместо переменных $x$ и $y$ в каждое уравнение системы, оба уравнения обращаются в верные числовые равенства.

Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Пара чисел $(x_0; y_0)$ будет решением этой системы, если одновременно выполняются два равенства: $a_1x_0 + b_1y_0 = c_1$ и $a_2x_0 + b_2y_0 = c_2$.

Геометрически, каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это координаты общей точки (или точек) этих двух прямых, то есть точки их пересечения.

Ответ: Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными является пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

б) Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует. Процесс решения не сводится к нахождению только одного решения; необходимо найти полное множество всех решений.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными возможны три случая. Во-первых, система может иметь единственное решение, если прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются в одной точке. Во-вторых, система может не иметь решений (быть несовместной), если прямые параллельны и не совпадают. В-третьих, система может иметь бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Таким образом, "решить систему" означает выполнить одно из следующих действий: указать единственную пару чисел, являющуюся решением; описать всё множество пар чисел, являющихся решениями; или доказать, что решений нет.

Ответ: Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.