Номер 686, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 686, страница 188.

Условие.

686. Приведите примеры систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, имеющих коэффициенты при неизвестных:

а) пропорциональные;

б) непропорциональные.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) пропорциональные

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными $x$ и $y$ в общем виде выглядит так: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ Коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях — это $a_1, b_1$ и $a_2, b_2$. Коэффициенты называются пропорциональными, если существует такое число $k \neq 0$, что $a_2 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot b_1$. Это равносильно условию, что отношения коэффициентов при соответствующих неизвестных равны: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} $$

Приведем пример такой системы. Возьмем в качестве первого уравнения, например, $3x + 2y = 8$. В этом уравнении коэффициенты $a_1 = 3$ и $b_1 = 2$. Чтобы составить второе уравнение с пропорциональными коэффициентами, умножим коэффициенты первого уравнения на одно и то же число, например, на 2. Получим коэффициенты для второго уравнения: $a_2 = 3 \cdot 2 = 6$ и $b_2 = 2 \cdot 2 = 4$. Свободный член $c_2$ для второго уравнения можно выбрать любым, например, $c_2 = 16$. Тогда второе уравнение будет $6x + 4y = 16$.

Таким образом, мы получили систему с пропорциональными коэффициентами: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 6x + 4y = 16 \end{cases} $$ Проверим пропорциональность коэффициентов, найдя их отношение: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Поскольку отношения равны, коэффициенты пропорциональны. Геометрически это означает, что графики этих уравнений (прямые) совпадают (так как $\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$), и система имеет бесконечно много решений. Если бы мы выбрали $c_2$ другим, например $c_2=5$, то прямые были бы параллельны, и система не имела бы решений, но коэффициенты при неизвестных все равно остались бы пропорциональными.

Ответ: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 6x + 4y = 16 \end{cases} $$

б) непропорциональные

Коэффициенты при неизвестных $a_1, b_1$ и $a_2, b_2$ называются непропорциональными, если их отношения не равны: $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$ Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Приведем пример такой системы. Возьмем то же первое уравнение: $3x + 2y = 8$. Здесь $a_1 = 3$, $b_1 = 2$. Теперь подберем коэффициенты $a_2$ и $b_2$ для второго уравнения так, чтобы нарушить пропорцию. Например, пусть второе уравнение будет $x - y = 1$. В этом случае коэффициенты $a_2 = 1$ и $b_2 = -1$.

Получили систему: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Проверим пропорциональность коэффициентов: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{1} = 3 $$ $$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1} = -2 $$ Поскольку $3 \neq -2$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, коэффициенты являются непропорциональными.

Ответ: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} $$