Номер 682, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 682, страница 186.

Условие.

682. Сколько решений имеет уравнение $x - y + 1 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Данное уравнение $x - y + 1 = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными, $x$ и $y$. Решением такого уравнения называется любая пара чисел $(x, y)$, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Для анализа количества решений выразим одну переменную через другую. Преобразуем уравнение, чтобы выразить $y$:
$x - y + 1 = 0$
Перенесем $y$ в правую часть уравнения, чтобы оно стало положительным:
$x + 1 = y$
Таким образом, мы получили зависимость $y = x + 1$.

Это соотношение показывает, что для любого произвольно выбранного значения переменной $x$ мы можем однозначно вычислить соответствующее значение переменной $y$. Поскольку в качестве $x$ можно взять любое действительное число, а множество действительных чисел бесконечно, то и количество пар $(x, y)$, являющихся решениями, также бесконечно.

Приведем несколько примеров решений:
- Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Решение: $(0, 1)$.
- Если $x = 1$, то $y = 1 + 1 = 2$. Решение: $(1, 2)$.
- Если $x = -3$, то $y = -3 + 1 = -2$. Решение: $(-3, -2)$.

Геометрически уравнение $y = x + 1$ является уравнением прямой линии на координатной плоскости. Каждая точка на этой прямой имеет координаты $(x, y)$, которые являются решением уравнения. Так как прямая состоит из бесконечного множества точек, то и уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много решений.