Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

691. Какие из пар чисел (2; 1), (1; 2), (5; -3), (0; 2), (1; 0), (1; -4) являются решением системы:

а) $\begin{cases}3x + y - 5 = 0, \\x - y + 1 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x - 2y + 4 = 0, \\2x + 3y - 6 = 0?\end{cases}$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(x; y)$ решением системы уравнений, необходимо подставить эти числа вместо $x$ и $y$ в оба уравнения. Если оба равенства окажутся верными, то пара является решением.

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 3x + y - 5 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases} $

Проверим каждую из предложенных пар:

Пара (2; 1):
Подставляем в первое уравнение: $3(2) + 1 - 5 = 6 + 1 - 5 = 2$. Поскольку $2 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (1; 2):
Подставляем в первое уравнение: $3(1) + 2 - 5 = 3 + 2 - 5 = 0$. Равенство верно.
Подставляем во второе уравнение: $1 - 2 + 1 = 0$. Равенство верно.
Поскольку оба равенства верны, пара (1; 2) является решением системы.

Пара (5; -3):
Подставляем в первое уравнение: $3(5) + (-3) - 5 = 15 - 3 - 5 = 7$. Поскольку $7 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (0; 2):
Подставляем в первое уравнение: $3(0) + 2 - 5 = 0 + 2 - 5 = -3$. Поскольку $-3 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (1; 0):
Подставляем в первое уравнение: $3(1) + 0 - 5 = 3 - 5 = -2$. Поскольку $-2 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (1; -4):
Подставляем в первое уравнение: $3(1) + (-4) - 5 = 3 - 4 - 5 = -6$. Поскольку $-6 \neq 0$, пара не является решением.

Ответ: (1; 2)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x - 2y + 4 = 0 \\ 2x + 3y - 6 = 0 \end{cases} $

Проверим каждую из предложенных пар:

Пара (2; 1):
Подставляем в первое уравнение: $2 - 2(1) + 4 = 2 - 2 + 4 = 4$. Поскольку $4 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (1; 2):
Подставляем в первое уравнение: $1 - 2(2) + 4 = 1 - 4 + 4 = 1$. Поскольку $1 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (5; -3):
Подставляем в первое уравнение: $5 - 2(-3) + 4 = 5 + 6 + 4 = 15$. Поскольку $15 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (0; 2):
Подставляем в первое уравнение: $0 - 2(2) + 4 = -4 + 4 = 0$. Равенство верно.
Подставляем во второе уравнение: $2(0) + 3(2) - 6 = 0 + 6 - 6 = 0$. Равенство верно.
Поскольку оба равенства верны, пара (0; 2) является решением системы.

Пара (1; 0):
Подставляем в первое уравнение: $1 - 2(0) + 4 = 1 + 0 + 4 = 5$. Поскольку $5 \neq 0$, пара не является решением.

Пара (1; -4):
Подставляем в первое уравнение: $1 - 2(-4) + 4 = 1 + 8 + 4 = 13$. Поскольку $13 \neq 0$, пара не является решением.

Ответ: (0; 2)

692. Является ли пара чисел (-1; 4) решением системы:

а) $\begin{cases}-x + y - 3 = 0, \\2x - y + 6 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{1}{3}x + 5y - 2 = 0, \\2x + 3y - 10 = 0;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x - 2y - 5 = 0, \\6x + 2y + 1 = 0;\end{cases}$

г) $\begin{cases}-3y + 12 = 0, \\6x + y + 2 = 0?\end{cases}$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(-1; 4)$ решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x = -1$ и $y = 4$ в каждое уравнение системы. Если оба равенства окажутся верными, то пара чисел является решением.

а) Проверим систему: $\begin{cases} -x + y - 3 = 0, \\ 2x - y + 6 = 0; \end{cases}$
Подставляем значения в первое уравнение:
$-(-1) + 4 - 3 = 1 + 4 - 3 = 2$.
Получаем $2 = 0$, что является неверным равенством. Так как первое уравнение не выполняется, пара чисел $(-1; 4)$ не является решением данной системы.
Ответ: не является.

б) Проверим систему: $\begin{cases} \frac{1}{3}x + 5y - 2 = 0, \\ 2x + 3y - 10 = 0; \end{cases}$
Подставляем значения в первое уравнение:
$\frac{1}{3}(-1) + 5(4) - 2 = -\frac{1}{3} + 20 - 2 = 18 - \frac{1}{3} = 17\frac{2}{3}$.
Получаем $17\frac{2}{3} = 0$, что является неверным равенством. Следовательно, пара чисел $(-1; 4)$ не является решением системы.
Ответ: не является.

в) Проверим систему: $\begin{cases} x - 2y - 5 = 0, \\ 6x + 2y + 1 = 0; \end{cases}$
Подставляем значения в первое уравнение:
$(-1) - 2(4) - 5 = -1 - 8 - 5 = -14$.
Получаем $-14 = 0$, что является неверным равенством. Значит, пара чисел $(-1; 4)$ не является решением системы.
Ответ: не является.

г) Проверим систему: $\begin{cases} -3y + 12 = 0, \\ 6x + y + 2 = 0; \end{cases}$
Подставляем значения в первое уравнение:
$-3(4) + 12 = -12 + 12 = 0$.
Получаем $0 = 0$, что является верным равенством.
Теперь подставляем значения во второе уравнение:
$6(-1) + 4 + 2 = -6 + 6 = 0$.
Получаем $0 = 0$, что также является верным равенством.
Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(-1; 4)$ является решением данной системы.
Ответ: является.

693. Исследуем. При каких $a$ и $b$ пара чисел $(1; 0)$ является решением системы:

а) $\begin{cases} 2x + y = a \\ bx - y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - ay = 3 \\ 2x + y = b \end{cases}$?

а) Чтобы пара чисел $(1; 0)$ была решением системы, значения $x=1$ и $y=0$ должны удовлетворять каждому уравнению системы. Подставим эти значения в данную систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + y = a, \\ bx - y = 2; \end{cases}$
Для первого уравнения получаем:
$2 \cdot 1 + 0 = a$
$2 = a$
Для второго уравнения получаем:
$b \cdot 1 - 0 = 2$
$b = 2$
Следовательно, система имеет решение $(1; 0)$ при $a=2$ и $b=2$.
Ответ: $a=2, b=2$.

б) Аналогично подставим значения $x=1$ и $y=0$ в уравнения второй системы:
$\begin{cases} 3x - ay = 3, \\ 2x + y = b; \end{cases}$
Для первого уравнения получаем:
$3 \cdot 1 - a \cdot 0 = 3$
$3 - 0 = 3$
$3 = 3$
Это равенство является верным тождеством при любом значении параметра $a$.
Для второго уравнения получаем:
$2 \cdot 1 + 0 = b$
$2 = b$
Следовательно, система имеет решение $(1; 0)$ при $b=2$ и любом значении $a$.
Ответ: $a$ - любое число, $b=2$.

694. Составьте систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными из условия:

а) сумма двух чисел равна 7, а их разность равна 2;

$\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$

б) разность двух чисел равна 12, а их сумма равна 27.

$\begin{cases} x - y = 12 \\ x + y = 27 \end{cases}$

а)

Чтобы составить систему уравнений, введем две переменные. Пусть первое неизвестное число будет $x$, а второе — $y$.

Первое условие гласит: "сумма двух чисел равна 7". Запишем это в виде математического уравнения:

$x + y = 7$

Второе условие гласит: "их разность равна 2". Это дает нам второе уравнение:

$x - y = 2$

Объединяя эти два уравнения, мы получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 2. \end{cases} $

б)

Аналогично пункту а), обозначим два неизвестных числа как $x$ и $y$.

Первое условие: "разность двух чисел равна 12". Запишем это в виде уравнения:

$x - y = 12$

Второе условие: "их сумма равна 27". Это дает нам второе уравнение:

$x + y = 27$

Составим систему из этих двух уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 12, \\ x + y = 27. \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} x - y = 12, \\ x + y = 27. \end{cases} $