Страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

655. а) $x + 3 = 2x - 4$;

б) $2x - 4 = 7x + 2$;

в) $x + 4 = x + 2$;

г) $2x - 6 = 3x$;

д) $5x = 6x$;

е) $2x + 5 - 7x + 2 = 3$;

ж) $3x - 5 = -2x + 7 + 5x - 12$;

з) $x - 1 + 3x - 5 = (x - 5) - (x - 3) + (x + 1)$.

а) $x + 3 = 2x - 4$
Чтобы решить уравнение, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
Перенесем $x$ в правую часть, а $-4$ в левую:
$3 + 4 = 2x - x$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$7 = x$
Ответ: $x = 7$

б) $2x - 4 = 7x + 2$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а числа — в левой:
$-4 - 2 = 7x - 2x$
Упростим обе части уравнения:
$-6 = 5x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 5:
$x = -6/5$
$x = -1.2$
Ответ: $x = -1.2$

в) $x + 4 = x + 2$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$x - x = 2 - 4$
Упростим обе части:
$0 = -2$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) $2x - 6 = 3x$
Перенесем $2x$ в правую часть уравнения:
$-6 = 3x - 2x$
Упростим правую часть:
$-6 = x$
Ответ: $x = -6$

д) $5x = 6x$
Перенесем $5x$ в правую часть уравнения:
$0 = 6x - 5x$
Упростим правую часть:
$0 = x$
Ответ: $x = 0$

е) $2x + 5 - 7x + 2 = 3$
Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(2x - 7x) + (5 + 2) = 3$
$-5x + 7 = 3$
Теперь перенесем 7 в правую часть:
$-5x = 3 - 7$
$-5x = -4$
Разделим обе части на -5:
$x = -4 / (-5)$
$x = 4/5$
$x = 0.8$
Ответ: $x = 0.8$

ж) $3x - 5 = -2x + 7 + 5x - 12$
Сначала упростим правую часть уравнения, приведя подобные слагаемые:
$3x - 5 = (-2x + 5x) + (7 - 12)$
$3x - 5 = 3x - 5$
Мы получили тождество, то есть верное равенство для любого значения переменной $x$. Чтобы убедиться в этом, перенесем все слагаемые в одну часть:
$3x - 3x - 5 + 5 = 0$
$0 = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

з) $x - 1 + 3x - 5 = (x - 5) - (x - 3) + (x + 1)$
Сначала упростим левую часть уравнения:
$(x + 3x) + (-1 - 5) = 4x - 6$
Теперь раскроем скобки и упростим правую часть. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак "минус", поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные.
$x - 5 - x + 3 + x + 1 = (x - x + x) + (-5 + 3 + 1) = x - 1$
Получаем уравнение:
$4x - 6 = x - 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - x = -1 + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$3x = 5$
Разделим обе части на 3:
$x = 5/3$
Ответ: $x = 5/3$

656. а) $7x + 2 - 3x + 10 = 0;$

б) $5x - 8 - (3x - 8) = 0;$

в) $3x - 1 - (2x + 5 - x) = 0;$

г) $1,52 - 2,8x - (1,72 - 5,2x) = 0;$

д) $5x + 7 - 2x - (3 - 2x + x) = 0;$

е) $7 - 0,2x - (21,28 - 1,6) = 0;$

ж) $\frac{1}{2}x - 3 - \left(2 - \frac{1}{3}x\right) = 0;$

з) $1\frac{1}{5} - 0,5x - 0,4 + \frac{2}{5}x = 0.$

а) $7x + 2 - 3x + 10 = 0$
Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):
$(7x - 3x) + (2 + 10) = 0$
$4x + 12 = 0$
Переносим 12 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$4x = -12$
Делим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-12}{4}$
$x = -3$
Ответ: -3

б) $5x - 8 - (3x - 8) = 0$
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$5x - 8 - 3x + 8 = 0$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(5x - 3x) + (-8 + 8) = 0$
$2x + 0 = 0$
$2x = 0$
Делим обе части на 2:
$x = 0$
Ответ: 0

в) $3x - 1 - (2x + 5 - x) = 0$
Сначала упростим выражение в скобках: $2x + 5 - x = (2x - x) + 5 = x + 5$
Теперь уравнение выглядит так:
$3x - 1 - (x + 5) = 0$
Раскрываем скобки:
$3x - 1 - x - 5 = 0$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(3x - x) + (-1 - 5) = 0$
$2x - 6 = 0$
Переносим -6 в правую часть:
$2x = 6$
Делим обе части на 2:
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$
Ответ: 3

г) $1,52 - 2,8x - (1,72 - 5,2x) = 0$
Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри:
$1,52 - 2,8x - 1,72 + 5,2x = 0$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(-2,8x + 5,2x) + (1,52 - 1,72) = 0$
$2,4x - 0,2 = 0$
Переносим -0,2 в правую часть:
$2,4x = 0,2$
Делим обе части на 2,4:
$x = \frac{0,2}{2,4}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$
Ответ: $\frac{1}{12}$

д) $5x + 7 - 2x - (3 - 2x + x) = 0$
Упрощаем выражение в скобках: $3 - 2x + x = 3 - x$
Подставляем в уравнение: $5x + 7 - 2x - (3 - x) = 0$
Приводим подобные слагаемые вне скобок: $(5x-2x) + 7 - (3-x) = 0$
$3x + 7 - (3-x) = 0$
Раскрываем скобки: $3x + 7 - 3 + x = 0$
Сгруппируем подобные слагаемые: $(3x + x) + (7 - 3) = 0$
$4x + 4 = 0$
Переносим 4 в правую часть: $4x = -4$
Делим обе части на 4: $x = \frac{-4}{4}$
$x = -1$
Ответ: -1

е) $7 - 0,2x - (21,28 - 1,6) = 0$
Выполняем вычитание в скобках:
$21,28 - 1,6 = 19,68$
Подставляем результат в уравнение:
$7 - 0,2x - 19,68 = 0$
Сгруппируем свободные члены:
$-0,2x + (7 - 19,68) = 0$
$-0,2x - 12,68 = 0$
Переносим -12,68 в правую часть:
$-0,2x = 12,68$
Делим обе части на -0,2:
$x = \frac{12,68}{-0,2} = -\frac{126,8}{2}$
$x = -63,4$
Ответ: -63,4

ж) $\frac{1}{2}x - 3 - (2 - \frac{1}{3}x) = 0$
Раскрываем скобки:
$\frac{1}{2}x - 3 - 2 + \frac{1}{3}x = 0$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены:
$(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x) + (-3 - 2) = 0$
Приводим дроби с $x$ к общему знаменателю 6: $(\frac{3 \cdot 1}{6}x + \frac{2 \cdot 1}{6}x) - 5 = 0$
$(\frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x) - 5 = 0$
$\frac{5}{6}x - 5 = 0$
Переносим -5 в правую часть: $\frac{5}{6}x = 5$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на обратную дробь $\frac{6}{5}$:
$x = 5 \cdot \frac{6}{5}$
$x = 6$
Ответ: 6

з) $1\frac{1}{5} - 0,5x - 0,4 + \frac{2}{5}x = 0$
Для удобства вычислений преобразуем все дроби в десятичные:
$1\frac{1}{5} = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0,2 = 1,2$
$\frac{2}{5} = 0,4$
Подставляем значения в уравнение:
$1,2 - 0,5x - 0,4 + 0,4x = 0$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(-0,5x + 0,4x) + (1,2 - 0,4) = 0$
$-0,1x + 0,8 = 0$
Переносим $0,8$ в правую часть с противоположным знаком:
$-0,1x = -0,8$
Делим обе части на -0,1:
$x = \frac{-0,8}{-0,1}$
$x = 8$
Ответ: 8

657. a) $x - 2(x - 3(x - 4)) = 1$;

Б) $5x - 4(x - 3(x - 2)) = 2$;

В) $3x - 2(x - 2(x - 3)) = 3$;

Г) $4x - 4(3x - 3(2x - 2)) = -24$;

Д) $x - 2(x - 3(x - 4(x - 5))) = 6$;

е) $5x - 4(x - 3(x - 2(x - 1))) = 2$;

Ж) $x - (x - (x - (x - 1))) = 1 - (2 - (3 - (4 - x)))$;

З) $4x - (3x - (2x - (x - 1) - 2) - 3) - 4 = 0$.

а) $x - 2(x - 3(x - 4)) = 1$

Решим уравнение, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

1. Раскроем внутренние скобки $3(x-4)$:

$x - 2(x - (3x - 12)) = 1$

2. Теперь раскроем скобки внутри $2(\dots)$:

$x - 2(x - 3x + 12) = 1$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$x - 2(-2x + 12) = 1$

3. Раскроем оставшиеся скобки, умножая на $-2$:

$x + 4x - 24 = 1$

4. Сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены:

$5x - 24 = 1$

5. Перенесем $-24$ в правую часть с противоположным знаком:

$5x = 1 + 24$

$5x = 25$

6. Найдем $x$:

$x = \frac{25}{5}$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$

б) $5x - 4(x - 3(x - 2)) = 2$

1. Раскроем внутренние скобки $3(x-2)$:

$5x - 4(x - (3x - 6)) = 2$

2. Раскроем скобки внутри $4(\dots)$:

$5x - 4(x - 3x + 6) = 2$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$5x - 4(-2x + 6) = 2$

3. Раскроем оставшиеся скобки, умножая на $-4$:

$5x + 8x - 24 = 2$

4. Сгруппируем слагаемые:

$13x - 24 = 2$

5. Перенесем $-24$ в правую часть:

$13x = 2 + 24$

$13x = 26$

6. Найдем $x$:

$x = \frac{26}{13}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

в) $3x - 2(x - 2(x - 3)) = 3$

1. Раскроем внутренние скобки $2(x-3)$:

$3x - 2(x - (2x - 6)) = 3$

2. Раскроем скобки внутри $2(\dots)$:

$3x - 2(x - 2x + 6) = 3$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$3x - 2(-x + 6) = 3$

3. Раскроем оставшиеся скобки, умножая на $-2$:

$3x + 2x - 12 = 3$

4. Сгруппируем слагаемые:

$5x - 12 = 3$

5. Перенесем $-12$ в правую часть:

$5x = 3 + 12$

$5x = 15$

6. Найдем $x$:

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

г) $4x - 4(3x - 3(2x - 2)) = -24$

1. Раскроем внутренние скобки $3(2x-2)$:

$4x - 4(3x - (6x - 6)) = -24$

2. Раскроем скобки внутри $4(\dots)$:

$4x - 4(3x - 6x + 6) = -24$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$4x - 4(-3x + 6) = -24$

3. Раскроем оставшиеся скобки, умножая на $-4$:

$4x + 12x - 24 = -24$

4. Сгруппируем слагаемые:

$16x - 24 = -24$

5. Перенесем $-24$ в правую часть:

$16x = -24 + 24$

$16x = 0$

6. Найдем $x$:

$x = \frac{0}{16}$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

д) $x - 2(x - 3(x - 4(x - 5))) = 6$

1. Начнем с самых внутренних скобок $4(x-5)$:

$x - 2(x - 3(x - (4x - 20))) = 6$

2. Раскроем следующие скобки:

$x - 2(x - 3(x - 4x + 20)) = 6$

$x - 2(x - 3(-3x + 20)) = 6$

3. Раскроем скобки, умножая на $-3$:

$x - 2(x - (-9x + 60)) = 6$

$x - 2(x + 9x - 60) = 6$

$x - 2(10x - 60) = 6$

4. Раскроем последние скобки, умножая на $-2$:

$x - 20x + 120 = 6$

5. Сгруппируем слагаемые:

$-19x + 120 = 6$

6. Перенесем $120$ в правую часть:

$-19x = 6 - 120$

$-19x = -114$

7. Найдем $x$:

$x = \frac{-114}{-19}$

$x = 6$

Ответ: $x = 6$

е) $5x - 4(x - 3(x - 2(x - 1))) = 2$

1. Начнем с самых внутренних скобок $2(x-1)$:

$5x - 4(x - 3(x - (2x - 2))) = 2$

2. Раскроем следующие скобки:

$5x - 4(x - 3(x - 2x + 2)) = 2$

$5x - 4(x - 3(-x + 2)) = 2$

3. Раскроем скобки, умножая на $-3$:

$5x - 4(x - (-3x + 6)) = 2$

$5x - 4(x + 3x - 6) = 2$

$5x - 4(4x - 6) = 2$

4. Раскроем последние скобки, умножая на $-4$:

$5x - 16x + 24 = 2$

5. Сгруппируем слагаемые:

$-11x + 24 = 2$

6. Перенесем $24$ в правую часть:

$-11x = 2 - 24$

$-11x = -22$

7. Найдем $x$:

$x = \frac{-22}{-11}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

ж) $x - (x - (x - (x - 1))) = 1 - (2 - (3 - (4 - x)))$

Упростим левую и правую части уравнения по отдельности.

Левая часть: $x - (x - (x - (x - 1)))$

$x - (x - (x - x + 1)) = x - (x - (1)) = x - (x - 1) = x - x + 1 = 1$

Правая часть: $1 - (2 - (3 - (4 - x)))$

$1 - (2 - (3 - 4 + x)) = 1 - (2 - (-1 + x)) = 1 - (2 + 1 - x) = 1 - (3 - x) = 1 - 3 + x = x - 2$

Теперь приравняем упрощенные части:

$1 = x - 2$

Перенесем $-2$ в левую часть:

$1 + 2 = x$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

з) $4x - (3x - (2x - (x - 1) - 2) - 3) - 4 = 0$

1. Раскроем самые внутренние скобки $(x-1)$:

$4x - (3x - (2x - x + 1 - 2) - 3) - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$4x - (3x - (x - 1) - 3) - 4 = 0$

2. Раскроем следующие скобки:

$4x - (3x - x + 1 - 3) - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$4x - (2x - 2) - 4 = 0$

3. Раскроем оставшиеся скобки:

$4x - 2x + 2 - 4 = 0$

4. Сгруппируем слагаемые:

$2x - 2 = 0$

5. Перенесем $-2$ в правую часть:

$2x = 2$

6. Найдем $x$:

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$