Номер 588, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.2. Свойства степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 588, страница 154.

Условие.

588. Доказываем. Докажите, что если $a \ne 0$ и $m, n, k$ — целые числа, то:

а) $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n;$

б) $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m + n + k};$

в) $((a^m)^n)^k = a^{m \cdot n \cdot k}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Доказательство тождества $ (a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n $.
В условии дано, что $ a \neq 0 $. Чтобы выражения $ b^n $ и $ c^n $ были определены при отрицательном показателе $ n $, необходимо также, чтобы $ b \neq 0 $ и $ c \neq 0 $. Будем считать, что эти условия выполняются. Доказательство проведем, рассмотрев три возможных случая для целого числа $ n $.

1. Случай, когда $ n $ — натуральное число ($ n > 0 $).
По определению степени с натуральным показателем, $ (a \cdot b \cdot c)^n $ представляет собой произведение $ n $ сомножителей, каждый из которых равен $ (a \cdot b \cdot c) $:
$ (a \cdot b \cdot c)^n = \underbrace{(a \cdot b \cdot c) \cdot (a \cdot b \cdot c) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b \cdot c)}_{n \text{ раз}} $
Используя переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства умножения, мы можем перегруппировать множители следующим образом:
$ = \underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \ldots \cdot b)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(c \cdot c \cdot \ldots \cdot c)}_{n \text{ раз}} $
По определению степени, данное выражение равно $ a^n \cdot b^n \cdot c^n $. Тождество верно для натуральных $ n $.

2. Случай, когда $ n = 0 $.
По определению степени с нулевым показателем, любая ненулевая база в степени 0 равна 1. Так как $ a, b, c $ не равны нулю, их произведение $ a \cdot b \cdot c $ также не равно нулю.
Левая часть: $ (a \cdot b \cdot c)^0 = 1 $.
Правая часть: $ a^n \cdot b^n \cdot c^n = a^0 \cdot b^0 \cdot c^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $.
Так как $ 1 = 1 $, тождество верно при $ n=0 $.

3. Случай, когда $ n $ — целое отрицательное число.
Пусть $ n = -p $, где $ p $ — натуральное число. По определению степени с целым отрицательным показателем: $ x^{-p} = \frac{1}{x^p} $.
Левая часть: $ (a \cdot b \cdot c)^n = (a \cdot b \cdot c)^{-p} = \frac{1}{(a \cdot b \cdot c)^p} $.
Как мы показали в первом случае, для натурального показателя $ p $ справедливо $ (a \cdot b \cdot c)^p = a^p \cdot b^p \cdot c^p $.
Следовательно, левая часть равна $ \frac{1}{a^p \cdot b^p \cdot c^p} = \frac{1}{a^p} \cdot \frac{1}{b^p} \cdot \frac{1}{c^p} $.
Вновь применяя определение степени с отрицательным показателем, получаем: $ a^{-p} \cdot b^{-p} \cdot c^{-p} $.
Поскольку $ n = -p $, это выражение равно $ a^n \cdot b^n \cdot c^n $, что и является правой частью исходного тождества.

Таким образом, тождество доказано для всех целых значений $ n $.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Доказательство тождества $ a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k} $.
Для доказательства будем использовать основное свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $. Это свойство справедливо для любых целых показателей $ x, y $ и $ a \neq 0 $.
Рассмотрим левую часть тождества и применим к ней сочетательное свойство умножения:
$ a^m \cdot a^n \cdot a^k = (a^m \cdot a^n) \cdot a^k $
Преобразуем выражение в скобках, используя свойство $ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $ (в нашем случае $ x=m, y=n $):
$ (a^m \cdot a^n) = a^{m+n} $
Подставим результат обратно:
$ = a^{m+n} \cdot a^k $
Теперь применим то же свойство еще раз, но уже для показателей $ m+n $ и $ k $ (здесь $ x=m+n, y=k $):
$ = a^{(m+n)+k} $
В силу ассоциативности сложения целых чисел, $ (m+n)+k = m+n+k $.
$ = a^{m+n+k} $
Левая часть тождества равна правой.

Таким образом, тождество доказано для всех целых $ m, n, k $.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Доказательство тождества $ ((a^m)^n)^k = a^{m \cdot n \cdot k} $.
Для доказательства воспользуемся основным свойством возведения степени в степень: $ (a^x)^y = a^{x \cdot y} $. Это свойство справедливо для любых целых показателей $ x, y $ и $ a \neq 0 $.
Рассмотрим левую часть тождества и будем преобразовывать ее последовательно, начиная с внутреннего выражения.
$ ((a^m)^n)^k $
Сначала преобразуем основание $ (a^m)^n $, используя свойство $ (a^x)^y = a^{x \cdot y} $ (где $ x=m, y=n $):
$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $
Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ = (a^{m \cdot n})^k $
Теперь применим свойство возведения степени в степень еще раз, но для основания $ a^{m \cdot n} $ и показателя $ k $ (здесь $ x = m \cdot n, y=k $):
$ = a^{(m \cdot n) \cdot k} $
В силу ассоциативности умножения целых чисел, $ (m \cdot n) \cdot k = m \cdot n \cdot k $.
$ = a^{m \cdot n \cdot k} $
Левая часть тождества равна правой.

Таким образом, тождество доказано для всех целых $ m, n, k $.
Ответ: Утверждение доказано.