Номер 454, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 454, страница 121.

Условие.

454. а) $-\frac{1}{2}m^3 + 2m^2 - m;$

б) $\frac{1}{3}pq^2 + \frac{1}{6}pq - p^2q;$

В) $\frac{1}{3}x^2y^3 + \frac{1}{4}x^3y^2 + \frac{1}{12}x^3y^3;$

Г) $0,2a^5b^3 - 1,2a^3b^4 + 0,7ab^3;$

Д) $-0,12mn - 1,02m^2 - 0,04m^2n;$

е) $\frac{1}{3}p^6q^7 + 0,5p^5q^8 + 1,1p^4q^9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Рассмотрим многочлен: $-\frac{1}{2}m^3 + 2m^2 - m$.

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех членов многочлена. Этот НОД будет состоять из НОД коэффициентов и НОД переменных частей.

1. Переменная часть: Одночлены содержат переменную $m$ в степенях $m^3$, $m^2$ и $m^1$. Наименьшая степень $m$ равна 1, поэтому общим множителем для переменной части является $m$.

2. Коэффициенты: Коэффициенты одночленов: $-\frac{1}{2}$, $2$, $-1$. Мы можем вынести за скобки общий множитель для коэффициентов. Чтобы старший коэффициент в скобках стал положительным и целым, удобно вынести $-\frac{1}{2}$.

Таким образом, общий множитель, который мы выносим за скобки, это $-\frac{1}{2}m$.

Теперь разделим каждый член исходного многочлена на этот общий множитель:

• $(-\frac{1}{2}m^3) : (-\frac{1}{2}m) = m^2$
• $(2m^2) : (-\frac{1}{2}m) = -4m$
• $(-m) : (-\frac{1}{2}m) = 2$

Запишем выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:

$-\frac{1}{2}m(m^2 - 4m + 2)$

Ответ: $-\frac{1}{2}m(m^2 - 4m + 2)$

б)

Рассмотрим многочлен: $\frac{1}{3}pq^2 + \frac{1}{6}pq - p^2q$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $-1$. Приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{2}{6}$, $\frac{1}{6}$, $-\frac{6}{6}$. Наибольший общий делитель для этих дробей — это дробь с НОД числителей (НОД(2, 1, 6) = 1) в числителе и общим знаменателем (6) в знаменателе, то есть $\frac{1}{6}$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $p$ наименьшая степень в одночленах — $p^1$.
• Для переменной $q$ наименьшая степень в одночленах — $q^1$.

Таким образом, общая переменная часть — это $pq$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $\frac{1}{6}pq$.

Разделим каждый член многочлена на $\frac{1}{6}pq$:

• $(\frac{1}{3}pq^2) : (\frac{1}{6}pq) = \frac{1/3}{1/6} \cdot \frac{p}{p} \cdot \frac{q^2}{q} = 2q$
• $(\frac{1}{6}pq) : (\frac{1}{6}pq) = 1$
• $(-p^2q) : (\frac{1}{6}pq) = \frac{-1}{1/6} \cdot \frac{p^2}{p} \cdot \frac{q}{q} = -6p$

Запишем итоговое выражение:

$\frac{1}{6}pq(2q + 1 - 6p)$

Ответ: $\frac{1}{6}pq(2q + 1 - 6p)$

в)

Рассмотрим многочлен: $\frac{1}{3}x^2y^3 + \frac{1}{4}x^3y^2 + \frac{1}{12}x^3y^3$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{12}$. Общий знаменатель — 12. Коэффициенты можно представить как $\frac{4}{12}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{1}{12}$. НОД числителей (4, 3, 1) равен 1. Значит, НОД коэффициентов — $\frac{1}{12}$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $x$ наименьшая степень — $x^2$.
• Для переменной $y$ наименьшая степень — $y^2$.

Таким образом, общая переменная часть — это $x^2y^2$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $\frac{1}{12}x^2y^2$.

Разделим каждый член многочлена на $\frac{1}{12}x^2y^2$:

• $(\frac{1}{3}x^2y^3) : (\frac{1}{12}x^2y^2) = \frac{1/3}{1/12} \cdot \frac{x^2}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2} = 4y$
• $(\frac{1}{4}x^3y^2) : (\frac{1}{12}x^2y^2) = \frac{1/4}{1/12} \cdot \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{y^2}{y^2} = 3x$
• $(\frac{1}{12}x^3y^3) : (\frac{1}{12}x^2y^2) = \frac{1/12}{1/12} \cdot \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2} = xy$

Запишем итоговое выражение:

$\frac{1}{12}x^2y^2(4y + 3x + xy)$

Ответ: $\frac{1}{12}x^2y^2(4y + 3x + xy)$

г)

Рассмотрим многочлен: $0,2a^5b^3 - 1,2a^3b^4 + 0,7ab^3$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $0,2$, $-1,2$, $0,7$. Чтобы найти их НОД, представим их как целые числа, умножив на 10: $2$, $-12$, $7$. НОД(2, 12, 7) = 1. Значит, НОД исходных коэффициентов равен $0,1$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $a$ наименьшая степень — $a^1$.
• Для переменной $b$ наименьшая степень — $b^3$.

Таким образом, общая переменная часть — это $ab^3$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $0,1ab^3$.

Разделим каждый член многочлена на $0,1ab^3$:

• $(0,2a^5b^3) : (0,1ab^3) = \frac{0,2}{0,1} \cdot \frac{a^5}{a} \cdot \frac{b^3}{b^3} = 2a^4$
• $(-1,2a^3b^4) : (0,1ab^3) = \frac{-1,2}{0,1} \cdot \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^4}{b^3} = -12a^2b$
• $(0,7ab^3) : (0,1ab^3) = \frac{0,7}{0,1} \cdot \frac{a}{a} \cdot \frac{b^3}{b^3} = 7$

Запишем итоговое выражение:

$0,1ab^3(2a^4 - 12a^2b + 7)$

Ответ: $0,1ab^3(2a^4 - 12a^2b + 7)$

д)

Рассмотрим многочлен: $-0,12mn - 1,02m^2 - 0,04m^2n$.

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

1. Коэффициенты: $-0,12$, $-1,02$, $-0,04$. Чтобы найти их НОД, умножим их на 100 и возьмем по модулю: $12$, $102$, $4$. НОД(12, 102, 4) = 2. Значит, НОД модулей коэффициентов равен $0,02$. Так как все коэффициенты отрицательны, удобно вынести $-0,02$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $m$ наименьшая степень — $m^1$.
• Переменная $n$ присутствует не во всех членах (во втором члене ее степень 0), поэтому ее нельзя вынести как общий множитель для всего многочлена.

Таким образом, общая переменная часть — это $m$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $-0,02m$.

Разделим каждый член многочлена на $-0,02m$:

• $(-0,12mn) : (-0,02m) = \frac{-0,12}{-0,02} \cdot \frac{m}{m} \cdot n = 6n$
• $(-1,02m^2) : (-0,02m) = \frac{-1,02}{-0,02} \cdot \frac{m^2}{m} = 51m$
• $(-0,04m^2n) : (-0,02m) = \frac{-0,04}{-0,02} \cdot \frac{m^2}{m} \cdot n = 2mn$

Запишем итоговое выражение:

$-0,02m(6n + 51m + 2mn)$

Ответ: $-0,02m(6n + 51m + 2mn)$

е)

Рассмотрим многочлен: $\frac{1}{3}p^6q^7 + 0,5p^5q^8 + 1,1p^4q^9$.

Для удобства работы преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $1,1 = \frac{11}{10}$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{3}p^6q^7 + \frac{1}{2}p^5q^8 + \frac{11}{10}p^4q^9$.

Найдем общий множитель.

1. Коэффициенты: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{11}{10}$. Наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 10 равен 30. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{10}{30}$, $\frac{15}{30}$, $\frac{33}{30}$. НОД числителей (10, 15, 33) равен 1. Значит, НОД коэффициентов — $\frac{1}{30}$.

2. Переменная часть:

• Для переменной $p$ наименьшая степень — $p^4$.
• Для переменной $q$ наименьшая степень — $q^7$.

Таким образом, общая переменная часть — это $p^4q^7$.

Общий множитель для вынесения за скобки — это $\frac{1}{30}p^4q^7$.

Разделим каждый член многочлена на $\frac{1}{30}p^4q^7$:

• $(\frac{1}{3}p^6q^7) : (\frac{1}{30}p^4q^7) = \frac{1/3}{1/30} \cdot \frac{p^6}{p^4} \cdot \frac{q^7}{q^7} = 10p^2$
• $(\frac{1}{2}p^5q^8) : (\frac{1}{30}p^4q^7) = \frac{1/2}{1/30} \cdot \frac{p^5}{p^4} \cdot \frac{q^8}{q^7} = 15pq$
• $(\frac{11}{10}p^4q^9) : (\frac{1}{30}p^4q^7) = \frac{11/10}{1/30} \cdot \frac{p^4}{p^4} \cdot \frac{q^9}{q^7} = 33q^2$

Запишем итоговое выражение:

$\frac{1}{30}p^4q^7(10p^2 + 15pq + 33q^2)$

Ответ: $\frac{1}{30}p^4q^7(10p^2 + 15pq + 33q^2)$