Номер 254, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.3. Многочлены стандартного вида. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 254, страница 81.

Условие.

254. а) Какой многочлен называют многочленом стандартного вида? Приведите примеры.

б) Что называют двучленом, трёхчленом? Приведите примеры.

в) Любой ли многочлен можно привести к стандартному виду?

г) Что нужно сделать для того, чтобы привести многочлен к стандартному виду?

д) Что называют степенью ненулевого многочлена стандартного вида?

е) Определена ли степень нулевого многочлена?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором все его члены (одночлены) записаны в стандартном виде и среди них нет подобных членов. Одночлен считается представленным в стандартном виде, если он содержит только один числовой множитель (коэффициент), который стоит на первом месте, и степени различных переменных. Члены многочлена стандартного вида принято записывать в порядке убывания их степеней.
Примеры многочленов стандартного вида: $5x^4 - 2x^2 + 8$; $12a^3b^2 - ab + 4$.
Пример многочлена, не являющегося многочленом стандартного вида: $3x^2y - 2xy + 5x \cdot x \cdot y + 7$.
В этом примере член $5x \cdot x \cdot y$ не в стандартном виде. После приведения его к стандартному виду $5x^2y$ многочлен станет $3x^2y - 2xy + 5x^2y + 7$. Теперь в нем есть подобные члены $3x^2y$ и $5x^2y$. После их сложения получим многочлен стандартного вида: $8x^2y - 2xy + 7$.
Ответ: Многочлен стандартного вида — это многочлен, который является суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных. Например, $7x^3 - 4xy + 11$.

б) Двучленом называют многочлен, состоящий из двух членов. Трёхчленом называют многочлен, состоящий из трёх членов. В общем случае многочлен, состоящий из $n$ членов, называют $n$-членом.
Примеры двучленов: $x + y$; $4a^2 - 9$; $7m^3n - k^5$.
Примеры трёхчленов: $a^2 + 2ab + b^2$; $5x^4 - 3x^2 + 1$; $m + n - k$.
Ответ: Двучлен — это многочлен, содержащий два члена (например, $a-b$). Трёхчлен — это многочлен, содержащий три члена (например, $x^2 + y + 3$).

в) Да, любой многочлен можно привести к стандартному виду. Этот процесс является одним из основных преобразований в алгебре. Он всегда выполним и приводит к единственному результату (с точностью до перестановки слагаемых). Для этого нужно выполнить два шага: привести каждый член многочлена к стандартному виду и затем сложить подобные члены.
Ответ: Да, любой многочлен можно привести к стандартному виду.

г) Для того, чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить следующую последовательность действий:
1. Каждый член многочлена, который не является одночленом стандартного вида, привести к стандартному виду. Это значит перемножить все числовые множители и сгруппировать степени одинаковых переменных.
2. Сложить подобные члены. Подобными называются члены, у которых одинаковая буквенная часть. При их сложении складываются их коэффициенты, а буквенная часть остается без изменений.
Например, приведём к стандартному виду многочлен $2a \cdot 4b - 5ab + a^2 \cdot 3a$:
1. Приводим члены к стандартному виду: $8ab - 5ab + 3a^3$.
2. Складываем подобные члены $8ab$ и $-5ab$: $(8-5)ab + 3a^3 = 3ab + 3a^3$.
3. Для удобства можно расположить члены по убыванию степеней: $3a^3 + 3ab$.
Ответ: Нужно каждый член многочлена привести к стандартному виду, а затем выполнить приведение подобных членов.

д) Степенью ненулевого многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых он состоит. Степенью одночлена, в свою очередь, называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень ненулевого числа (одночлена без переменных) равна нулю.
Например, для многочлена $5x^3y^4 - 2x^6 + 3xy - 7$ степени его членов равны:
• степень $5x^3y^4$ равна $3+4=7$;
• степень $-2x^6$ равна $6$;
• степень $3xy$ (то есть $3x^1y^1$) равна $1+1=2$;
• степень $-7$ равна $0$.
Наибольшая из этих степеней — $7$. Значит, степень всего многочлена равна $7$.
Ответ: Степенью ненулевого многочлена стандартного вида является самая большая из степеней его членов.

е) Нет, степень нулевого многочлена (многочлена, все коэффициенты которого равны нулю, т.е. $0$) в стандартной школьной программе считается неопределенной. Это связано с тем, что у него нет ненулевых членов, и, следовательно, невозможно выбрать член с наибольшей степенью. Кроме того, число $0$ можно записать как $0 \cdot x$, $0 \cdot x^2$, $0 \cdot x^n$ для любого $n$, что не позволяет однозначно определить его степень. В некоторых разделах высшей математики степени нулевого многочлена приписывают значение $-\infty$ (минус бесконечность) для сохранения некоторых свойств операций над многочленами, но это не является общепринятым определением в базовой алгебре.
Ответ: Нет, степень нулевого многочлена не определена.