Номер 255, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.3. Многочлены стандартного вида. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 255, страница 81.

Условие.

255. Имеет ли многочлен стандартный вид:

а) $m - 3n + 2m;$

б) $a \cdot 2b - 3a^2 + b;$

в) $3xy - 3yx + 1;$

г) $a^2 + ab + b^2 + ab;$

д) $x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 1;$

е) $ba - a^2b - a^3b;$

ж) $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2bab^2?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Многочлен имеет стандартный вид, если он представляет собой сумму одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов. Одночлен имеет стандартный вид, если он записан в виде произведения числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных (записанных, как правило, в алфавитном порядке). Проверим каждый многочлен на соответствие этим условиям.

а) Многочлен $m - 3n + 2m$ не имеет стандартного вида, так как содержит подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью): $m$ и $2m$. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить приведение подобных членов:

$m - 3n + 2m = (m + 2m) - 3n = 3m - 3n$

Ответ: Нет.

б) Многочлен $a \cdot 2b - 3a^2 + b$ не имеет стандартного вида, так как его первый член $a \cdot 2b$ не является одночленом стандартного вида. Одночлен стандартного вида должен иметь числовой коэффициент на первом месте. Приведем его к стандартному виду:

$a \cdot 2b = 2ab$

Таким образом, многочлен в стандартном виде: $2ab - 3a^2 + b$.

Ответ: Нет.

в) Многочлен $3xy - 3yx + 1$ не имеет стандартного вида. Во-первых, член $-3yx$ не записан в стандартном виде, так как переменные в нем расположены не в алфавитном порядке ($yx = xy$). Во-вторых, после приведения этого члена к стандартному виду ($ -3yx = -3xy $), в многочлене оказываются подобные члены: $3xy$ и $-3xy$. Приведем их:

$3xy - 3yx + 1 = 3xy - 3xy + 1 = 0 + 1 = 1$

Ответ: Нет.

г) Многочлен $a^2 + ab + b^2 + ab$ не имеет стандартного вида, так как он содержит подобные члены: $ab$ и $ab$. Приведем подобные члены:

$a^2 + ab + b^2 + ab = a^2 + (ab + ab) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: Нет.

д) Многочлен $x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 1$ имеет стандартный вид. Все его члены являются одночленами стандартного вида, подобных членов среди них нет, и они расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: Да.

е) Многочлен $ba - a^{2}b - a^{3}b$ не имеет стандартного вида, так как его первый член $ba$ не является одночленом стандартного вида. Переменные в нем должны быть записаны в алфавитном порядке: $ba = ab$. Многочлен в стандартном виде будет:

$ab - a^2b - a^3b$

Ответ: Нет.

ж) Многочлен $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2bab^2$ не имеет стандартного вида по двум причинам. Во-первых, его последний член $2bab^2$ не приведен к стандартному виду. Приведем его:

$2bab^2 = 2 \cdot a \cdot (b \cdot b^2) = 2ab^3$

После этого преобразования многочлен принимает вид: $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2ab^3$.

Во-вторых, теперь в многочлене есть подобные члены: $ab^3$ и $2ab^3$. Приведем их:

$a^3b + (ab^3 + 2ab^3) - a^2b^2 = a^3b + 3ab^3 - a^2b^2$

Ответ: Нет.