Номер 257, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.3. Многочлены стандартного вида. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 257, страница 81.

Условие.

257. Приведите многочлен к стандартному виду, определите его степень:

а) $4a^2b + 5b^2a + baa + 3aba;$

б) $5a^3 - 7ax^3 - 2ax^3 - a^3x - ax^3;$

в) $3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - a^2x;$

г) $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12n^3p^2 + 2n^3;$

д) $7a^3 - 8aba^2 + 3a^2 - 4b;$

е) $x^5 - 7y^2 + 3xyx^4 + 2x - 1;$

ж) $ac + 2abc - 7a^2 + 3ca - 3cab.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $4a^2b + 5b^2a + baa + 3aba$

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо сначала привести каждый его член (одночлен) к стандартному виду, а затем сложить подобные члены.

Приведем члены $baa$ и $3aba$ к стандартному виду. Для этого запишем переменные в алфавитном порядке и перемножим их, сложив показатели степеней:
$baa = b \cdot a \cdot a = a^{1+1}b = a^2b$
$3aba = 3 \cdot a \cdot b \cdot a = 3 \cdot a^{1+1}b = 3a^2b$

Теперь многочлен выглядит так:
$4a^2b + 5ab^2 + a^2b + 3a^2b$

Найдем и приведем подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью). Подобными являются $4a^2b$, $a^2b$ и $3a^2b$. Сложим их коэффициенты:
$(4 + 1 + 3)a^2b = 8a^2b$

Член $5ab^2$ не имеет подобных. Таким образом, стандартный вид многочлена: $8a^2b + 5ab^2$.

Степень многочлена – это наибольшая из степеней его членов.
Степень члена $8a^2b$ равна $2+1=3$.
Степень члена $5ab^2$ равна $1+2=3$.
Наибольшая степень равна 3.

Ответ: Стандартный вид: $8a^2b + 5ab^2$. Степень многочлена: 3.

б) $5a^3 - 7ax^3 - 2ax^3 - a^3x - ax^3$

Все члены многочлена уже представлены в стандартном виде. Найдем и приведем подобные члены.

Подобными являются члены $-7ax^3$, $-2ax^3$ и $-ax^3$. Сложим их коэффициенты:
$(-7 - 2 - 1)ax^3 = -10ax^3$

Члены $5a^3$ и $-a^3x$ не имеют подобных.
Стандартный вид многочлена: $5a^3 - 10ax^3 - a^3x$.

Определим степень многочлена, найдя наибольшую степень его членов.
Степень члена $5a^3$ равна 3.
Степень члена $-10ax^3$ равна $1+3=4$.
Степень члена $-a^3x$ равна $3+1=4$.
Наибольшая степень равна 4.

Ответ: Стандартный вид: $5a^3 - 10ax^3 - a^3x$. Степень многочлена: 4.

в) $3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - a^2x$

Все члены многочлена в стандартном виде. Приведем подобные члены.

Первая группа подобных членов: $-3a^2x$ и $-a^2x$.
$(-3 - 1)a^2x = -4a^2x$

Вторая группа подобных членов: $2a^2x^2$ и $-7a^2x^2$.
$(2 - 7)a^2x^2 = -5a^2x^2$

Член $3ax^2$ не имеет подобных.
Стандартный вид многочлена, упорядоченный по убыванию степени: $-5a^2x^2 + 3ax^2 - 4a^2x$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $-5a^2x^2$ равна $2+2=4$.
Степень члена $3ax^2$ равна $1+2=3$.
Степень члена $-4a^2x$ равна $2+1=3$.
Наибольшая степень равна 4.

Ответ: Стандартный вид: $-5a^2x^2 + 3ax^2 - 4a^2x$. Степень многочлена: 4.

г) $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12n^3p^2 + 2n^3$

Приведем член $12n^3p^2$ к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке: $12p^2n^3$.
Многочлен примет вид: $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12p^2n^3 + 2n^3$.

Приведем подобные члены.
Первая группа: $6n^3$ и $2n^3$.
$(6 + 2)n^3 = 8n^3$

Вторая группа: $-8p^2n^3$, $p^2n^3$ и $12p^2n^3$.
$(-8 + 1 + 12)p^2n^3 = 5p^2n^3$

Стандартный вид многочлена: $5p^2n^3 + 8n^3$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $5p^2n^3$ равна $2+3=5$.
Степень члена $8n^3$ равна 3.
Наибольшая степень равна 5.

Ответ: Стандартный вид: $5p^2n^3 + 8n^3$. Степень многочлена: 5.

д) $7a^3 - 8aba^2 + 3a^2 - 4b$

Приведем член $-8aba^2$ к стандартному виду:
$-8aba^2 = -8 \cdot a \cdot b \cdot a^2 = -8 \cdot a^{1+2}b = -8a^3b$

Многочлен примет вид: $7a^3 - 8a^3b + 3a^2 - 4b$.
В этом многочлене нет подобных членов. Запишем его в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию их степени: $-8a^3b + 7a^3 + 3a^2 - 4b$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $-8a^3b$ равна $3+1=4$.
Степень члена $7a^3$ равна 3.
Степень члена $3a^2$ равна 2.
Степень члена $-4b$ равна 1.
Наибольшая степень равна 4.

Ответ: Стандартный вид: $-8a^3b + 7a^3 + 3a^2 - 4b$. Степень многочлена: 4.

е) $x^5 - 7y^2 + 3xyx^4 + 2x - 1$

Приведем член $3xyx^4$ к стандартному виду:
$3xyx^4 = 3 \cdot x \cdot y \cdot x^4 = 3 \cdot x^{1+4}y = 3x^5y$

Многочлен примет вид: $x^5 - 7y^2 + 3x^5y + 2x - 1$.
Подобных членов нет. Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени: $3x^5y + x^5 - 7y^2 + 2x - 1$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $3x^5y$ равна $5+1=6$.
Степень члена $x^5$ равна 5.
Степень члена $-7y^2$ равна 2.
Степень члена $2x$ равна 1.
Степень члена $-1$ равна 0.
Наибольшая степень равна 6.

Ответ: Стандартный вид: $3x^5y + x^5 - 7y^2 + 2x - 1$. Степень многочлена: 6.

ж) $ac + 2abc - 7a^2 + 3ca - 3cab$

Приведем члены $3ca$ и $-3cab$ к стандартному виду:
$3ca = 3ac$
$-3cab = -3abc$

Многочлен примет вид: $ac + 2abc - 7a^2 + 3ac - 3abc$.

Приведем подобные члены.
Первая группа: $ac$ и $3ac$.
$(1 + 3)ac = 4ac$

Вторая группа: $2abc$ и $-3abc$.
$(2 - 3)abc = -abc$

Член $-7a^2$ не имеет подобных.
Стандартный вид многочлена, упорядоченный по убыванию степени: $-abc - 7a^2 + 4ac$.

Определим степень многочлена.
Степень члена $-abc$ равна $1+1+1=3$.
Степень члена $-7a^2$ равна 2.
Степень члена $4ac$ равна $1+1=2$.
Наибольшая степень равна 3.

Ответ: Стандартный вид: $-abc - 7a^2 + 4ac$. Степень многочлена: 3.